Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+10，
（I）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）在區(qū)間[4，6]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得f（x）＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=lnx-2x²+4x+t（t為常數(shù)），若使g（x）≤x+m≤f（x）+x-10在（0，+∞）上恒成立的實(shí)數(shù)m有且只有一個(gè)，求實(shí)數(shù)m和t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線的斜率，進(jìn)而寫出切線方程；
（Ⅱ）由題意轉(zhuǎn)化為a＞

x3+10

x2

=x+

10

x2

，設(shè)g（x）=x+

10

x2

，（1≤x≤2），利用導(dǎo)數(shù)求g（x）的最小值，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）把連等式分成兩個(gè)不等式x+m-g（x）≥0和f（x）+x-10-x-m≥0在（0，+∞）上恒成立的問題，把不等式的左邊看作一個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最小值，兩個(gè)范圍求交集再由實(shí)數(shù)m有且只有一個(gè)，可求m，進(jìn)而求t．

解答： 解：（I）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=3x²-2x，f（1）=10，
曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率k=f′（1）=1，
所以曲線曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x-y+9=0．
（II）有已知得：a＞

x3+10

x2

=x+

10

x2

，
設(shè)g（x）=x+

10

x2

，（1≤x≤2），g′（x）=1-

10

x3

，
∵1≤x≤2，∴g′（x）＜0，所以g（x）在[1，2]上是減函數(shù)．    
g（x）_min=g（2）=

9

2

，
所以a＞

9

2

．  
（Ⅲ）由已知得h₁（x）=x+m-g（x）=2x²-3x-lnx+m-t≥0在（0，+∞）上恒成立，
∵

h

′ 1

(x)=

(4x+1)(x-1)

x

，
∴x∈（0，1）時(shí)，h′₁（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，h₁（x）＞0
∴x=1時(shí)，h′₁（x）取極小值，也是最小值，
∴當(dāng)h₁（1）=m-t-1≥0，m≥t+1時(shí)，h₁（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
同樣，h₂（x）=f（x）+x-10-x-m=x³-x²-m≥0在（0，+∞）上恒成立，
∵h(yuǎn)′₂（x）=3x（x-

2

3

），
∴x∈（0，

2

3

）時(shí)，h′₂（x）＜0，x∈（

2

3

，+∞），h′₂（x）＞0，
∴x=

2

3

時(shí)，h₂（x）取極小值，也是最小值，
∴h₂（

2

3

）=-

4

27

-m≥0，m≤-

4

27

時(shí)，h₂（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴t+1≤m≤-

4

27

，
∵實(shí)數(shù)m有且只有一個(gè)，∴m=-

4

27

，t=-

31

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題，考查學(xué)生的等價(jià)轉(zhuǎn)化能力及運(yùn)算求解能力，屬于難題．