Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，點F為PC的中點．
（1）求證：PA∥平面BDF；
（2）求證：PC⊥BD．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)BD與AC交于點O，利用三角形的中位線性質(zhì)可得OF∥PA，從而證明PA∥平面BDF．
（2）由 PA⊥平面ABCD 得PA⊥BD，依據(jù)菱形的性質(zhì)可得 BD⊥AC，從而證得 BD⊥平面PAC，進而PC⊥BD．

解答： 證明：（1）連接AC，BD與AC交于點O，連接OF．
∵ABCD是菱形，
∴O是AC的中點．
∵點F為PC的中點，
∴OF∥PA．
∵OF?平面BDF，PA?平面BDF，
∴PA∥平面BDF．
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD．
又∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC．
又PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC．
又∵PC?平面PAC，
∴PC⊥BD

點評：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，直線與平面垂直的判定、性質(zhì)的應(yīng)用，取BD與AC交于點O，是解題的突破口．