【題目】已知函數(shù)，．

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；并證明：當時，；

（3）證明：當時，函數(shù)有最小值，設最小值為，求函數(shù)的值域．

【答案】（1）；（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為，；證明見解析；（3）證明見解析；.

【解析】

（1）由導數(shù)的幾何意義可得切線斜率為1，利用點斜式即可得解；

（2）由題意，求導后可得，即可得的單調(diào)區(qū)間；由時，即，即可得證；

（3）求出函數(shù)的導數(shù)，令，由（2）知的單調(diào)性，可得存在唯一實數(shù)使得，則，令，求導后即可得解.

（1），，，

故所求直線方程為即；

（2）由題意，

則，

的單調(diào)遞增區(qū)間為，；

當時，即，

由可得即，

，得證.

（3）由題意，

則，

設，

由（2）知，在上單調(diào)遞增，

又，，存在唯一實數(shù)使得，

當時，，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當時，，，函數(shù)單調(diào)遞增；

在上有最小值即，

又即，

，

令，

則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

即，

函數(shù)的值域為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】袋中共有8個乒乓球，其中有5個白球，3個紅球，這些乒乓球除顏色外完全相同.從袋中隨機取出一球，如果取出紅球，則把它放回袋中；如果取出白球，則該白球不再放回，并且另補一個紅球放入袋中，重復上述過程次后，袋中紅球的個數(shù)記為.

(I)求隨機變量的概率分布及數(shù)學期望；

(Ⅱ)求隨機變量的數(shù)學期望關于的表達式.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在點處的切線斜率為負值.

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若有兩個極值點，，求證：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知在四棱錐中，平面，，是邊長為2的等邊三角形，，為的中點．

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角的正切值為2，求二面角的大�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)（R）．

（1）求函數(shù)在R上的最小值；

（2）若不等式在上恒成立，求的取值范圍；

（3）若方程在上有四個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列命題中正確的個數(shù)為（ ）

①兩個有共同始點且相等的向量，其終點可能不同；

②若非零向量與共線，則、、、四點共線；

③若非零向量與共線，則；

④四邊形是平行四邊形，則必有；

⑤，則、方向相同或相反.

A.個B.個C.個D.個

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，滿足，，，且.若存在，使得成立，則實數(shù)的最小值為__________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關于的方程有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍；

（3）求證：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知兩個定點，， 動點滿足，設動點的軌跡為曲線，直線：.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）若與曲線交于不同的、兩點，且 (為坐標原點)，求直線的斜率；

（3）若，是直線上的動點，過作曲線的兩條切線、，切點為、，探究：直線是否過定點，若存在定點請寫出坐標，若不存在則說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案