【題目】設(shè)直線與函數(shù)的圖像恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).求出所有這樣的直線方程.

【答案】

【解析】

顯然，直線與函數(shù)的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn).于是，

設(shè)直線方程為.將其代入，

得. ①

方程①恰有兩個(gè)不同實(shí)根，有如下3種情形：

（1），

其中，、、、，，且.

（2），其中，、，且.

（3），其中，、，且.

對(duì)于（1），可設(shè)，

其中，，.

展開比較系數(shù)得，，，.

由前兩個(gè)方程得，，代入，，得

.

所以，.

故

則，.

直線方程為，

其中，實(shí)數(shù)、滿足.

比如，取，則；取，則，.因此，直線方程為.

此時(shí)，方程①為.

對(duì)于（2），可設(shè)，其中，.

在（1）的方程組中令，，得，，，.

解得，，，.

因此，直線方程為.

對(duì)于（3），展開比較系數(shù)得，，，.

由前兩個(gè)方程得，.解得.

注意到，，，

于是，.

此時(shí)，直線方程為.

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（2）考慮環(huán)境因素，需要對(duì)OA，OB段道路進(jìn)行翻修，OA，OB段的翻修單價(jià)分別為n元/千米和n元/千米，要使兩段道路的翻修總價(jià)最少，試確定A，B點(diǎn)的位置．

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3

2

4




0

4


（Ⅰ）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）請(qǐng)問是否存在直線滿足條件：①過的焦點(diǎn)；②與交不同兩點(diǎn)且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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(2)若乙選手每題能答對(duì)的概率都是，且每題答對(duì)與否互不影響，用數(shù)學(xué)期望分析比較甲、乙兩選手的答題水平。

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