Question

【題目】已知.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）對(duì)任意時(shí)，不等式恒成立，求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)1.

【解析】試題分析：

(Ⅰ) 當(dāng)時(shí)， ，結(jié)合圖象可得若方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根，只需即可．（Ⅱ）由題意得只需滿足即可，根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系及拋物線的開口方向求得函數(shù)的最值，然后解不等式可得所求．

試題解析：

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ，

∵關(guān)于的方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根，

∴，

∴.

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．

（Ⅱ）①當(dāng) ，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∵不等式恒成立，

∴ ，可得，

∴

解得，與矛盾，不合題意．

②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

∵不等式恒成立，

∴，可得

∴

解得，這與矛盾，不合題意．

③當(dāng)，即時(shí)，

∵不等式恒成立，

∴，整理得 ，

即，即，

∴ ，解得.

當(dāng)時(shí)，則，故.

∴.

綜上可得．