已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+mx,當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的值;
(Ⅱ)已知結(jié)論:若函數(shù)f(x)=ln(x+1)+mx在區(qū)間(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在,且a>-1,則存在x0∈(a,b),使得f′(x0)=
f(b)-f(a)
b-a
,試用這個(gè)結(jié)論證明:若-1<x1<x2,函數(shù)g(x)=
f(x1)-f(x2)
x1-x2
(x-x1)+f(x1),則對(duì)任意x∈(x1+x2),都有f(x)>g(x).
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專(zhuān)題:綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),利用當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值,即可求得實(shí)數(shù)m的值;
(Ⅱ)令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-
f(x1)-f(x2)
x1-x2
(x-x1)-f(x1)
,則h′(x)=f′(x)-
f(x1)-f(x2)
x1-x2
,根據(jù)函數(shù)f(x)在x∈(x1,x2)上可導(dǎo),可得存在x0∈(x1,x2),使得f′(x0)=
f(x1)-f(x2)
x1-x2
,從而可得函數(shù)的單調(diào)性,即可證明結(jié)論.
解答: 解:(Ⅰ)f′(x)=
1
x+1
+m
.由f'(0)=0,得m=-1,此時(shí)f′(x)=-
x
x+1

當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減.
∴函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值,故m=-1(6分)
(Ⅱ)令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-
f(x1)-f(x2)
x1-x2
(x-x1)-f(x1)
,
h′(x)=f′(x)-
f(x1)-f(x2)
x1-x2
.(8分)
函數(shù)f(x)在x∈(x1,x2)上可導(dǎo),∴存在x0∈(x1,x2),使得f′(x0)=
f(x1)-f(x2)
x1-x2
.(10分)
又f'(x)=
1
x+1
-1  ∴h′(x)=f′(x)-f′(x0)=
1
x+1
-
1
x0+1
=
x0-x
(x+1)(x0+1)

當(dāng)x∈(x1,x0)時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,∴h(x)>h(x1)=0;
當(dāng)x∈(x0,x2)時(shí),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,∴h(x)>h(x2)=0;
故對(duì)任意x∈(x1,x2),都有f(x)>g(x)(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了學(xué)生的推理論證能力和邏輯思維能力,構(gòu)造函數(shù)并由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)在不同區(qū)間上的單調(diào)性是解答該題的關(guān)鍵,是難度較大的題目.
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若函數(shù)f(x)=x3-3x-a在區(qū)間[0,2]上最大值為M,最小值為m,則M-m的值為( 。
A、-2B、0C、2D、4

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(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求此函數(shù)的最值.

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已知函數(shù)f(x)=ex-k-x,(x∈R)
(1)當(dāng)k=0時(shí),若函數(shù)g(x)=lg[f(x)+m]的定義域是R,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)當(dāng)k>1時(shí),討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(k,2k)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(3)若方程f(x)=x2+1在區(qū)間(-1,+∞)內(nèi)有三個(gè)不等實(shí)根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,且AB=2CD,在棱AB上是否存在一點(diǎn)F,使平面C1CF∥ADD1A1?若存在,求點(diǎn)F的位置,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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已知函數(shù)f(x)=ax+x2-xlna-b(a,b∈R,a>0,a≠1).
(1)當(dāng)a>1時(shí),試判斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性;
(2)當(dāng)b=4,a=e(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e=2.71828…)時(shí),求整數(shù)k的值,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間(k,k+1)上存在零點(diǎn);
(3)當(dāng)b=0時(shí),若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,試求a的取值范圍.

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設(shè)函數(shù)f(x)=ex+sinx,g(x)=x.
(1)已知點(diǎn)P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))(x1≥0,x2≥0),若直線PQ平行于x軸,求P,Q兩點(diǎn)間的最短距離;
(2)若x≥0時(shí),f(x)-f(-x)≥a(g(x)-g(-x))恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)的和Sn;
(2)設(shè)Tn為數(shù)列{
1
anan+1
}的前n項(xiàng)和,證明:
1
3
≤Tn
1
2
;
(3)對(duì)(2)問(wèn)中的Tn,若Tn≤λan+1對(duì)一切n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)λ的最小值.

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