Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間．

（2）設(shè)直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，若的斜率存在最小值-2，求的值，并求取得最小斜率時(shí)切線(xiàn)的方程．

（3）已知分別在，處取得極值，求證：．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2），；（3）證明見(jiàn)解析．

【解析】

（1）由的正負(fù)可確定的單調(diào)區(qū)間；

（2）利用基本不等式可求得時(shí)，取得最小值，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，從而求得，求得切點(diǎn)坐標(biāo)后，可得到切線(xiàn)方程；

（3）由極值點(diǎn)的定義可知是的兩個(gè)不等正根，由判別式大于零得到的取值范圍，同時(shí)得到韋達(dá)定理的形式；化簡(jiǎn)為，結(jié)合的范圍可證得結(jié)論.

（1）由題意得：的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，

，

當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2），所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），

切線(xiàn)的斜率存在最小值，，解得：，

，即切點(diǎn)為，

從而切線(xiàn)方程，即：．

（3），

分別在，處取得極值，

，是方程，即的兩個(gè)不等正根．

則，解得：，且，．

，

，，

即不等式成立．