已知函數(shù)f(x)=alnx-
x
+2(a>0)在區(qū)間(0,4)上單調(diào)遞增.
(Ⅰ)求a的取值范圍;
(Ⅱ)當a取最小值時,證明:當x>0時,f(x)≤
1
2
(x+1).
考點:利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:導數(shù)的綜合應用
分析:(Ⅰ)求f′(x),解f′(x)≥0,便得到函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,根據(jù)已知的函數(shù)f(x)在(0,4)上單調(diào)遞增便可得出a的取值范圍.
(Ⅱ)求出f(x),令g(x)=f(x)-
1
2
(x+1)
,容易看出g(1)=0,所以只要g(x)≤0=g(1),即g(x)的最大值是g(1)即可得出結(jié)論.所以求g′(x),判斷取得極值的情況,從而得出最值,很可能是最大值g(1),這樣便能證出結(jié)論.
解答: 解:(Ⅰ)在(0,+∞)上解f′(x)=
a
x
-
1
2
x
=
2a
x
-x
2x
x
≥0

2a
x
-x≥0
,2a
x
≥x,4a2x≥x2解得:0<x≤4a2
∴函數(shù)f(x)在(0,4a2]上單調(diào)遞增,f(x)在(0.4)上單調(diào)遞增;
∴4≤4a2,∵a>0,∴解得a≥1;
(Ⅱ)f(x)=lnx-
x
+2,令g(x)=f(x)-
1
2
(x+1)=lnx-
x
+2-
1
2
(x+1)

∴g′(x)=
1
x
-
1
2
x
-
1
2
=
2
x
-x
x
-x
2x
x
=
x
(1+
x
)(1-
x
)+
x
(1-
x
)
2x
x
=
x
(1-
x
)(2+
x
)
2x
x
;
∴x∈(0,1)時,g′(x)>0;x∈(1,+∞)時,g′(x)<0;
∴g(1)=0是g(x)在(0,+∞)上的最大值;
∴g(x)≤0,∴f(x)≤
1
2
(x+1)
點評:考查函數(shù)導數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關系,以及解不等式f′(x)≥0得出函數(shù)f(x)單調(diào)增區(qū)間的方法,構造函數(shù)的方法,極值的概念,求函數(shù)最值的方法.
練習冊系列答案
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已知A(1,1),B(3,5),則直線AB的垂直平分線為( 。
A、x-2y-8=0
B、2x+y+8=0
C、x+2y-8=0
D、2x-y-8=0

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已知函數(shù)f(x)=-
1
3
x3+
1
2
(a-1)x2+ax,x∈R.
(Ⅰ)若a=2,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(Ⅱ)若-1<a<-1時,f(x)在區(qū)間[-1,2}上的最小值為-
10
3
,求f(x)在該區(qū)間上的最大值.

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2013年12月26日上午,日本首相安倍晉三參拜了靖國神社.這是安倍兩次出任首相以來首次參拜,引起周邊國家的強烈譴責,我軍為了加強防范外敵入侵加強軍事演習.在某次軍事演習中紅方為了準確分析戰(zhàn)場形勢,在兩個相距為
3
a
2
的軍事基地C和D測得藍方兩只精銳部隊分別在A處和B處,且∠ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,如圖所示,求藍方這兩只精銳部隊的距離.

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如圖,半徑為2的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸,旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體,求該幾何體的體積.(其中∠BAC=30°)

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已知函數(shù)f(x)=2f′(1)lnx+x2+2f(1)x+
1
4

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)設g(x)=f(x)-x2+(
5
2
-a)x-
a-1
x
-
1
4
,證明:當a≥1時.對任意的x∈[0,1),g(1-x)≤g(1+x).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知式子(x2-
2
x
10
(Ⅰ)求該式的二項展開式中的第4項
(Ⅱ)求該式的二項展開式中含
1
x
的項.

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已知函數(shù)f(x)=lnx-λx+λ(λ∈R).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)請問,是否存在實數(shù)λ使f(x)≤0在x∈(0,+∞)上恒成立?若存在,請求實數(shù)λ的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}=
n+1,n是奇數(shù)
2n,n是偶數(shù)
滿足an,其前n項和為Sn
(Ⅰ)求S9和S10的值;
(Ⅱ)甲同學利用Sn設計了一個流程圖,如圖所示是該流程圖的一部分.但乙同學認為這個程序如果被執(zhí)行會是一個“死循環(huán)”(即程序會永遠循環(huán)下去,而無法結(jié)束).你是否同意乙同學的觀點?請說明理由.

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