Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-

x

+2（a＞0）在區(qū)間（0，4）上單調(diào)遞增．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）當a取最小值時，證明：當x＞0時，f（x）≤

1

2

（x+1）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求f′（x），解f′（x）≥0，便得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)已知的函數(shù)f（x）在（0，4）上單調(diào)遞增便可得出a的取值范圍．
（Ⅱ）求出f（x），令g（x）=f（x）-

1

2

(x+1)，容易看出g（1）=0，所以只要g（x）≤0=g（1），即g（x）的最大值是g（1）即可得出結(jié)論．所以求g′（x），判斷取得極值的情況，從而得出最值，很可能是最大值g（1），這樣便能證出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）在（0，+∞）上解f′（x）=

a

x

-

1

2 x

=

2a x -x

2x x

≥0：
∴2a

x

-x≥0，2a

x

≥x，4a²x≥x²解得：0＜x≤4a²
∴函數(shù)f（x）在（0，4a²]上單調(diào)遞增，f（x）在（0.4）上單調(diào)遞增；
∴4≤4a²，∵a＞0，∴解得a≥1；
（Ⅱ）f（x）=lnx-

x

+2，令g（x）=f（x）-

1

2

（x+1）=lnx-

x

+2-

1

2

(x+1)；
∴g′（x）=

1

x

-

1

2 x

-

1

2

=

2 x -x x -x

2x x

=

x (1+ x )(1- x )+ x (1- x )

2x x

=

x (1- x )(2+ x )

2x x

；
∴x∈（0，1）時，g′（x）＞0；x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0；
∴g（1）=0是g（x）在（0，+∞）上的最大值；
∴g（x）≤0，∴f（x）≤

1

2

(x+1)．

點評：考查函數(shù)導數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關系，以及解不等式f′（x）≥0得出函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間的方法，構造函數(shù)的方法，極值的概念，求函數(shù)最值的方法．