已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
,對一切n∈N+,點(n,2an+1-an)在直線y=x上,
(Ⅰ)令bn=an+1-an-1,求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求通項bn;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式an
(Ⅲ)設(shè)Sn、Tn分別為數(shù)列{an}、{bn}的前n項和,是否存在常數(shù)λ,使得數(shù)列{
SnTn
n
}
為等差數(shù)列?若存在,試求出λ若不存在,則說明理由.
分析:(Ⅰ)通過已知條件求出a1,a2,利用bn=an+1-an-1,得到bn+1=an+2-an+1-1,推出
bn+1
bn
為常數(shù),說明是等比數(shù)列,然后求解通項bn;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)求出的bn,利用累加法以及等比數(shù)列求和公式,求數(shù)列{an}的通項公式an;
(Ⅲ)求出數(shù)列{an}、{bn}的前n項和Sn、Tn,利用數(shù)列{
SnTn
n
}
為等差數(shù)列的充要條件,化簡數(shù)列{
SnTn
n
}
,求出λ的值即可.
解答:解:( I)由已知得  a1=
1
2
,2an+1=an+n
,∵a2=
3
4
a2-a1-1=
3
4
-
1
2
-1=-
3
4
,
又bn=an+1-an-1,bn+1=an+2-an+1-1,
bn+1
bn
=
an+1-an-1
an+2-an+1-1
=
an+1+(n+1)
2
-
an+n
2
an+1-an-1
=
an+1-an-1
2
an+1-an-1
=
1
2

數(shù)列{bn}是以-
3
4
為首項以
1
2
為公比的等比數(shù)列,bn=-
3
4
×(
1
2
)n-1

(Ⅱ)因為bn=-
3
4
×(
1
2
)n-1

∴an+1-an=1-
3
4
×(
1
2
)
n-1
,a2-a1=1-
3
2
×
1
2
;a3-a2=1-
3
2
×
1
22
,…,an+1-an=1-
3
4
×(
1
2
)
n-1
,
將以上各式相加得:an-a1=n+1-
3
2
(
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
)
,
an=n-
1
2
-
3
2
×
1
2
(1-
1
2n-1
)
1-
1
2
=
3
2n
+n-2

(Ⅲ)存在λ=2,使得數(shù)列{
SnTn
n
}
為等差數(shù)列,
∵Sn=a1+a2+…+an
=3(
1
2
+
1
22
+…+
1
2n
)
+(1+2+…+n)-2n
=
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
+
n(n+1)
2
-2n

=3(1-
1
2n
)+
n2-3n
2
=-
3
2n
+
n2-3n
2
+3

Tn=b1+b2+…+bn=
-
3
4
(1-
1
2n
)
1-
1
2
=-
3
2
(1-
1
2n
)=-
3
2
+
3
2n+1

數(shù)列{
SnTn
n
}
是等差數(shù)列的充要條件是
SnTn
n
=An+B,(A
、B是常數(shù))
SnTn=An2+Bn,
SnTn=-
3
2n
+
n2-3n
2
+3+λ(-
3
2
+
3
2n+1
)
=
n2-3n
2
+3-
3
2n
+λ(-
3
2
+
3
2n+1
)

3-
3
2n
+λ(-
3
2
+
3
2n+1
)
=0,當λ=2時,上式成立.
所以存在常數(shù)λ=2,使得數(shù)列{
SnTn
n
}
為等差數(shù)列.
點評:本題參考數(shù)列是等比數(shù)列的判定,通項公式的求法,前n項和的求法,考查分析問題解決問題的能力.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,則
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,則{an}的通項公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{
2n
an
}
的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
,Sn
為數(shù)列的前n項和,且Sn
1
an
的一個等比中項為n(n∈N*
),則
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項公式為(  )
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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