Question

8．如圖平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=2，M為CD邊的中點，沿BM將△CBM折起使得平面BMC⊥平面ABMD．

（1）求四棱錐C-ADMB的體積；
（2）求折后直線AB與平面AMC所成的角的正弦．

Answer 1

分析 （1）由已知得△CMB是等邊三角形，取MB的中點O，則CO⊥MB，又平面BMC⊥平面ABMD，CO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出底面梯形的面積，再利用棱錐的體積公式解答；
（2）利用面面垂直的性質(zhì)和判定，找到折后直線AB與面AMC所成的角的平面角，然后求正弦值即可．

解答 解：（1）由已知∠DAB=60°，AB=AD=2，
M為邊CD的中點，
∴△CMB是等邊三角形，
取MB的中點O，則CO⊥MB，
又平面BMC⊥平面ABMD于MB，
則CO⊥平面ABMD，且CO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
${S}_{梯形ABCM}=\frac{AB+CM}{2}×CO$=$\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴V_{四棱錐C-ADMB}=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{8}$；
（2）∵∠DAB=60°，AB=AD=2，
M為邊CD的中點，
∴AM=2$\sqrt{3}$，BM=2，
∴AM⊥BM，
又平面BMC⊥平面ABMD交線為BM，
∴AM⊥平面CMB，
∴平面AMC⊥平面BMC于MC，
由△CMB是等邊三角形，取CM的中點E，連接BE，則BE⊥CM，
∴BE⊥平面AMC，連接EA，則∠BAE是直線AB與平面AMC所成的角，
∴sin∠BAE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了折疊的問題，將平面圖折疊得到立體圖形，求幾何體的體積及空間角，屬于中檔題．