Question

已知函數(shù)f（x）是定義在[-5，5]上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時，f（x）=x²+4x
（1）畫出函數(shù)f（x）的大致圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間與單調(diào)減區(qū)間．
（2）若方程f（x）+2a=0有四個根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,函數(shù)圖象的作法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)的對稱性即可畫出函數(shù)f（x）的大致圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間與單調(diào)減區(qū)間．
（2）利用數(shù)形結(jié)合即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）若0≤x≤5，則-5≤-x≤0，
∵f（x）是定義在[-5，5]上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時，f（x）=x²+4x
∴f（-x）=x²-4x=f（x），
即f（x）=x²-4x，0≤x≤5，
作出函數(shù)的圖象如圖：
單調(diào)增區(qū)間：（-2，0），（2，5）；
單調(diào)減區(qū)間：（-5，-2），（0，2）；
（2）由f（x）+2a=0得f（x）=-2a，
若方程f（x）+2a=0有四個根，
則等價為函數(shù)f（x）與y=-2a有四個不同的交點(diǎn)，
由圖象可知-4＜-2a＜0，
即0＜a＜2，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，2）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用以及方程和函數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．