Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n-1-a_n=2a_n-1a_n （n∈N，N≥2）．
（1）求證數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（2）求證數(shù)列{a_na_n+1}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用恒等變換求出數(shù)列的等式：

1

an

-

1

an-1

=2，由于相鄰項的差是常數(shù)，所以進一步得到數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）利用（1）的結論得到數(shù)列的通項公式，最后利用裂項相消法求出數(shù)列的和．

解答： 證明：（1）已知a_n-1-a_n=2a_n-1a_n
所以：

1

an

-

1

an-1

=2（常數(shù)）（n∈N，N≥2）．
所以數(shù)列{a_n}是以

1

a1

=1為首項，2為公差的等差數(shù)列．
解：（2）由（1）得：

1

an

=

1

a1

+2(n-1)=2n-1
所以：an=

1

2n-1

，
進一步求出：an+1=

1

2n+1

所以：anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
Sn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

點評：本題考查的知識要點：利用定義法證明數(shù)列是等差數(shù)列，裂項相消法在數(shù)列求和中的應用，屬于基礎題型．