Question

（2012•安徽模擬）已知函數(shù)f（x）=a•2^x+b的圖象經(jīng)過A（1，1），B（2，3）及C（n，S_n），其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式及前n項和S_n；
（Ⅱ）若{c_n}中，c_n=n（6a_n-1），求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n；
（Ⅲ）試比較（Ⅱ）中的T_n與

23n2-13n

2

的大小并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=a•2^x+b的圖象經(jīng)過A（1，1），B（2，3）兩點⇒

2a+b=1 4a+b=3

⇒

a=1 b=-1

，故f（x）=2^x-1，又C（n，S_n）在f（x）的圖象上⇒Sn=2n-1，由此能求出{a_n}的通項公式及前n項和S_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，cn=3n•2n-n⇒Tn=3(1•21+2•22+…+n•2n)-(1+2+3+…+n)，令Pn=1•21+2•22+…+n•2n，由錯位相減法可求得Pn=(n-1)2n+1+2，由此能求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．
（Ⅲ）由Tn-

23n2-13n

2

=3(n-1)2n+1+6-

n(n+1)

2

-

23n2-13n

2

=6(n-1)[2n-(2n+1)]，能比較T_n與

23n2-13n

2

的大小并說明理由．

解答：（本小題14分）
解：（Ⅰ）由f（x）=a•2^x+b的圖象經(jīng)過A（1，1），B（2，3）兩點⇒

2a+b=1 4a+b=3

⇒

a=1 b=-1

，
∴f（x）=2^x-1，
又C（n，S_n）在f（x）的圖象上⇒Sn=2n-1，
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-1，
∴an=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
cn=3n•2n-n⇒Tn=3(1•21+2•22+…+n•2n)-(1+2+3+…+n)，
令Pn=1•21+2•22+…+n•2n，
由錯位相減法可求得Pn=(n-1)2n+1+2，
又1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
故Tn=3Pn-

n(n+1)

2

=3(n-1)2n+1+6-

n(n+1)

2

．
（Ⅲ）由Tn-

23n2-13n

2

=3(n-1)2n+1+6-

n(n+1)

2

-

23n2-13n

2

=6(n-1)[2n-(2n+1)]
當(dāng)n=1時，6（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]=0，Tn=

23n2-13n

2

當(dāng)n=2時，6（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]=-6，Tn＜

23n2-13n

2

當(dāng)n=3時，6（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]=12，Tn＞

23n2-13n

2

下證n≥3時，Tn＞

23n2-13n

2

，
即證n≥3時，2ⁿ＞2n+1，
∵n≥3時，2n=(1+1)n=

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-1 n

+

C

n n

≥

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n-1 n

+

C

n n

=2n+2＞2n+1成立，
∴n≥3時，Tn＞

23n2-13n

2

成立，
綜上所述：n=1時，Tn=

23n2-13n

2

；
n=2時，Tn＜

23n2-13n

2

；
n≥3時，Tn＞

23n2-13n

2

．

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查數(shù)列、不等式知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．