Question

等差數列{a_n}中，a₁₀=4，a₂₀=-16．
（Ⅰ）求通項公式a_n；
（Ⅱ）求數列{a_n}的前n項和S_n的最大值及相應n的值；
（Ⅲ）求數列{|a_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列的函數特性

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）設等差數列{a_n}的公差為d，利用等差數列的通項公式即可得出；
（II）由a_n≥0解得n≤12，即可得出．
（III）當n≤12時，a_n≥0，可得|a_n|=a_n，利用等差數列的前n項和公式即可得出T_n．當n＞12時，T_n=S₁₂-a₁₃-a₁₄-…-a_n=2S₁₂-S_n，利用等差數列的前n項和公式即可得出T_n．

解答： 解：（I）設等差數列{a_n}的公差為d，
∵a₁₀=4，a₂₀=-16．∴

a1+9d=4 a1+19d=-16

，解得

a1=22 d=-2

．
∴a_n=22+（n-1）×（-2）=-2n+24．
（II）由a_n≥0解得n≤12，且a₁₂=0，因此前11項或12項的和最大．
（III）當n≤12時，a_n≥0，
∴|a_n|=a_n，∴T_n=22n+

n(n-1)

2

×-2=-n²+23n．
當n＞12時，T_n=S₁₂-a₁₃-a₁₄-…-a_n=2S₁₂-S_n=2×（-12²+23×12）-（-n²+23n）=n²-23n+264．
∴Tn=

-n2+23n，n≤12 n2-23n+264，n≥13

．

點評：本題考查了等差數列的通項公式及其前n項和公式、含絕對值的數列的求和，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．