Question

若函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，
（1）a=0時，若x∈[1，+∞）有f（x）-m≥0，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）設(shè)a≤-2，證明：對任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）化簡，由基本初等函數(shù)的性質(zhì)可得m的取值范圍；（2）求導(dǎo)并討論a的取值，從而確定單調(diào)性，（3）將問題化為導(dǎo)數(shù)最值問題，導(dǎo)數(shù)的最值借助基本不等式解答，從而證明不等式成立．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時，f（x）=lnx+1，
∵x∈[1，+∞），∴l(xiāng)nx+1≥1，
則由題意可知，m≤1．
（2）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=

a(2x2+1)+1

x

，
①當(dāng)a≤-1時，f′（x）＜0，
函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
②當(dāng)-1＜a＜0時，x∈[

-2a-2a2

-2a

，+∞）時，f′（x）＜0，
f（x）在[

-2a-2a2

-2a

，+∞）上單調(diào)遞減；
x∈（0，

-2a-2a2

-2a

]時，f′（x）＞0，
f（x）在（0，

-2a-2a2

-2a

]上單調(diào)遞增；
③當(dāng)a≥0時，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）證明：當(dāng)a≤-2時，
f′（x）=

a+1

x

+2ax=-[（-

a+1

x

）+（-2ax）]≤-2

2a(a+1)

≤-4，
則|f′（x）|≥4，
則對任意x₁，x₂∈（0，+∞），

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

≥4，
即|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|．

點評：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化的思想，同時考查了恒成立問題，屬于難題．