Question

已知函數(shù)f（x）=mx²+lnx-2x在x=1處的切線與直線x-4y+1=0垂直，則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，由f（x）在x=1處的切線與直線x-4y+1=0垂直求得m的值，然后代入導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)大于0求得原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：∵f（x）=mx²+lnx-2x，
∴f′(x)=2mx+

1

x

-2，
f′（1）=2m-1，
∵函數(shù)f（x）在x=1處的切線與直線x-4y+1=0垂直，
∴2m-1=-4，得m=-

3

2

．
即f′(x)=-3x+

1

x

-2=

-3x2-2x+1

x

（x＞0），
由-3x²-2x+1＞0，解得-1＜x＜

1

3

，
∴0＜x＜

1

3

．
則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(0，

1

3

)．
故答案為：(0，

1

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．