Question

已知函數(shù)f（x）=

1

|x-a|

+x²，（常數(shù)a∈R）．
（1）根據(jù)a的不同取值，討論f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）設(shè)a=0，且t是正實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，+∞） 上單調(diào)遞增，試根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義求出t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求f（x）的定義域，{x|x≠a}，a=0時(shí)，顯然f（x）為偶函數(shù)；a≠0時(shí)，f（x）的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f（x）是非奇非偶函數(shù)；
（2）x＞0時(shí)，f（x）=

1

x

+x2，根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)任意x₁，x₂∈[t，+∞），且x₁＜x₂則f（x₁）-f（x₂）＜0，從而可得到1＜x₁x₂（x₁+x₂）在[t，+∞）上恒成立．而可以求得x1x2(x1+x2)＞2t3，所以便有1≤2t³，解該不等式即得t的取值范圍．

解答： 解：（1）定義域?yàn)閧x|x≠a}；
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=

1

|x|

+x2，f（-x）=

1

|x|

+x2=f(x)；
所以f（x）為偶函數(shù)；
②當(dāng)a≠0時(shí)，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
所以f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；
（2）x＞0時(shí)，f(x)=

1

x

+x2，此時(shí)f（x）在[t，+∞）（t＞0）上單調(diào)遞增；
∴任取0＜t≤x₁＜x₂，有：
f(x1)-f(x2)=

1

x1

+x12-

1

x2

-x22=(x2-x1)•

1-x1x2(x1+x2)

x1x2

＜0；
所以1-x₁x₂（x₁+x₂）＜0 恒成立，即1＜x₁x₂（x₁+x₂）；
∵x1x2＞t2＞0，x₁+x₂＞2t＞0；
∴x1x2(x1+x2)＞2t3；
所以2t³≥1，即t≥

3	1 2

；
∴t的取值范圍為[

3	1 2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)奇偶性的定義，以及奇偶函數(shù)定義域的特點(diǎn)，以及函數(shù)單調(diào)性定義的運(yùn)用．