Question

已知函數(shù)f（x）=x+

m

x

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，5）
（1）求函數(shù)解析式；
（2）請(qǐng)用定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得方程，解出即可；（2）?x₁＞x₂＞2，通過(guò)作差法得出f（x₁）＞f（x₂），從而證明問(wèn)題．

解答： （1）解：把（1，5）代入f（x）=x+

m

x

，得：1+m=5，解得：m=4，
∴f（x）=x+

4

x

，
（2）證明：設(shè)?x₁＞x₂＞2，
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+4（

1

x1

-

1

x2

）=（x₁-x₂）（1-

4

x1•x2

），
∵x₁-x₂＞0，1-

4

x1x2

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)求函數(shù)的解析式問(wèn)題，考查了函數(shù)的單調(diào)性的證明，是一道基礎(chǔ)題．