Question

已知函數(shù)f（x）=x²•ln|x|（x≠0）．
（Ⅰ）求f（x）的最值；   
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=kx-1無實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）顯然該函數(shù)是偶函數(shù)，所以只需研究當(dāng)x＞0時(shí)的函數(shù)最值，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)的符號(hào)確定單調(diào)性；
（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、極值、最值情況研究圖象，再結(jié)合圖象確定k的范圍．

解答： 解：（ I ）∵f（x）為偶函數(shù)，∴我們先求其在（0，+∞）內(nèi)的最值．
求導(dǎo)得f′（x）=x（2lnx+1），令f′（x）=0⇒2lnx+1=0⇒x=e 

1

2

，
易知：x∈（0，e -

1

2

）時(shí)，f′（x）＜0⇒f（x）單調(diào)遞減；x∈（e -

1

2

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0⇒f（x）單調(diào)遞增．
故f（x）在（0，+∞）上的最小值f（x）_min=f（e -

1

2

）=-

1

2e

．
再由f（x）為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱即知：f（x）_min=-

1

2e

為所求．
（ II ）由（ I ）知：f（x）的圖象大致如右圖所示：

由圖象（曲線為f（x）的圖象）知：當(dāng)求出直線y=kx-1
與f（x）的圖象相切時(shí)，其斜率k的值后，便可求得該直線與f（x）的圖象無交點(diǎn)，即
方程f（x）=kx-1無實(shí)數(shù)解時(shí)，其斜率k的取值范圍．  我們先考慮x＞0的情況．
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），x₀＞0⇒k_切=x₀（2ln x₀+1）⇒切線方程為：y=x₀（2ln x₀+1）x+y₀-x₀²（2ln x₀+1），
因該切線與y=kx-1重合，故x₀²（2ln x₀+1）=1⇒2x₀²ln x₀=1-x₀²．此即2 f（x₀）=1-x₀²． （※）
在同一坐標(biāo)系內(nèi)，作出函數(shù)y=2f（x），x＞0，與y=1-x²的圖象，可知它們的交點(diǎn)為（1，0）．
故方程（※）的解為：x₀=1⇒k_切=1；⇒x＞0時(shí)，k≥1，直線y=kx-1與f（x）的圖象有交點(diǎn)（即原方程有解）．
再根據(jù)f（x）的圖象的對(duì)稱性易知：k≤-1時(shí)，直線y=kx-1與f（x）的圖象也有交點(diǎn)．
故-1＜k＜1時(shí)，直線y=kx-1與f（x）的圖象無交點(diǎn)，即方程f（x）=kx-1無實(shí)數(shù)解．
故所求的k的范圍是（-1，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題充分考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、等性質(zhì)，確定函數(shù)的圖象，再進(jìn)一步研究方程根的取值情況的常規(guī)思路．