Question

已知橢圓C：4x²+y²=1及直線L：y=x+m．
（1）當(dāng)直線L和橢圓C有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)直線L被橢圓C截得的弦最長時(shí)，求直線L所在的直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由方程組

4x2+y2=1 y=x+m

，得5x²+2mx+m²-1=0，由此利用根的判別式能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）設(shè)直線L和橢圓C相交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理求出弦長|AB|=

2

5

10-8m2

，由此能求出當(dāng)m=0時(shí)，|AB|取得最大值，此時(shí)直線L方程為y=x．

解答： 解：（1）由方程組

4x2+y2=1 y=x+m

，消去y，
整理得5x²+2mx+m²-1=0．（2分）
∴△=4m²-20（m²-1）=20-16m²（4分）
因?yàn)橹本�和橢圓有公共點(diǎn)的條件是△≥0，即20-16m²≥0，
解之得-

5

2

≤m≤

5

2

．（5分）
（2）設(shè)直線L和橢圓C相交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達(dá)定理得

x1+x2=- 2m 5 x1x2= m2-1 5

，（8分）
∴弦長|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[ 4m2 25 - 4(m2-1) 5 ]

=

2

5

10-8m2

，-

5

2

≤m≤

5

2

，
∴當(dāng)m=0時(shí)，|AB|取得最大值，此時(shí)直線L方程為y=x．（10分）

點(diǎn)評：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式的合理運(yùn)用．