Question

已知兩定點M（-2，0），N（2，0），若直線上存在點P，使得|PM|-|PN|=2，則稱該直線為“A型直線”．給出下列直線：①y=x+1，②y=

3

x+2，③y=-x+3，④y=-2x．
其中是“A型直線”的序號是

 

．

Answer 1

考點：點到直線的距離公式

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知得點P的軌跡方程方程為：x²-

y2

3

=1，（x≥1），其漸近線方程為：y=±

3

x，由此能求出結果．

解答： 解：∵兩定點M（-2，0），N（2，0），直線上存在點P（x，y），使得|PM|-|PN|=2，
∴點P的軌跡是雙曲線，其中2a=2，2c=4，
∴點P的軌跡方程方程為：x²-

y2

3

=1，（x≥1），
∴其漸近線方程為：y=±

3

x，
∵①y=x+1經(jīng)過（0，1）且斜率k=1＜

3

，
∴該直線與雙曲線x²-

y2

3

=1（x≥1）有交點，
∴該直線是“A型直線”；
對于②，∵y=

3

x+2經(jīng)過（0，2），且斜率k=

3

，
顯然該直線與其漸近線方程y=

3

x平行，該直線與雙曲線無交點，
∴該直線不是“A型直線”，即②不符合；
對于③，∵y=-x+3經(jīng)過（0，3）且斜率k=-1，
∴該直線與雙曲線x²-

y2

3

=1（x≥1）有交點，故③符合；
同理可得，④y=-2x的斜率k=-2＜-

3

，
∴該直線與雙曲線x²-

y2

3

=1（x≥1）無交點，
綜上所述，①③符合．
故答案為：①③．

點評：本題考查“A型直線”的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意雙曲線的性質(zhì)的合理運用．