Question

19．已知拋物線y²=4x截直線y=2x+m所得弦長$|{AB}|=\sqrt{15}$．
（1）求m的值；
（2）設(shè)P是x軸上的點(diǎn)，且△ABP的面積為$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將直線方程代入拋物線方程，由韋達(dá)定理及弦長公式可知$|{AB}|=\sqrt{15}$．即可求得m的值；
（2）由直線AB的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得$d=\frac{{|{2a-1}|}}{{\sqrt{5}}}$，利用三角形的面積公式，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）將直線方程代入拋物線方程$\left\{{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，
整理得4x²+4（m-1）x+m²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁+x₂=1-m，${x_1}{x_2}=\frac{m^2}{4}$．
于是$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|$=$\sqrt{1+{2^2}}\sqrt{{{（{1-m}）}^2}-4×\frac{m^2}{4}}$=$\sqrt{5（{1-2m}）}$．
因?yàn)?|{AB}|=\sqrt{15}$，
所以$\sqrt{5（{1-2m}）}$=$\sqrt{15}$，解得m=-1．
∴m的值-1；
（2）設(shè)P（a，0），P到直線AB的距離為d，
因?yàn)閘_AB：2x-y+m=0，由點(diǎn)到直線的距離公式得$d=\frac{{|{2a-1}|}}{{\sqrt{5}}}$，
又${S_{△ABP}}=\frac{1}{2}|{AB}|•d$，所以$d=\frac{{2{S_{△ABP}}}}{{|{AB}|}}$，
于是$\frac{{|{2a-1}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{2×\frac{{9\sqrt{3}}}{2}}}{{\sqrt{15}}}$，
解得a=5或a=-4，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0）或（-4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，弦長公式及三角形的面積公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．