Question

函數(shù)y=sin⁴x+cos⁴x是（　　）

• A、最小正周期為

  π

  2

  ，值域為[

  2

  2

  ，1]的函數(shù)
• B、最小正周期為

  π

  4

  ，值域為[

  2

  2

  ，1]的函數(shù)
• C、最小正周期為

  π

  2

  ，值域為[

  1

  2

  ，1]的函數(shù)
• D、最小正周期為

  π

  4

  ，值域為[

  1

  2

  ，1]的函數(shù)

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用平方關系與二倍角的正弦將y=sin⁴x+cos⁴x化為y=1-

1

2

×sin²2x，再利用降冪公式可求得y=

3

4

+

1

4

×cos4x，從而可求其周期和值域．

解答： 解：∵y=sin⁴x+cos⁴x
=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x
=1-

1

2

×sin²2x
=1-

1

2

×

1-cos4x

2

=

3

4

+

1

4

×cos4x，
∴其周期T=

2π

4

=

π

2

，其值域為[

1

2

，1]
故選：C．

點評：本題考查三角函數(shù)的周期性、值域及其求法，突出考查二倍角的正弦與余弦，降冪是關鍵，屬于中檔題．