Question

如圖，在邊長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中點．
（Ⅰ）證明：AC₁∥平面BDE；
（Ⅱ）求三棱錐E-BCD的體積
（Ⅲ）求異面直線BC₁，CD₁所成角．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（I）連接AC交BD于點O，連接EO．由三角形的中位線定理可得AC₁∥EO．再利用線面平行的判定定理即可得出．
（（III）連接BA₁，A₁C₁．可得△A₁BC₁為等邊三角形，四邊形A₁BCD₁為平行四邊形．于是A₁B∥CD₁，∠A₁BC₁為異面直線BC₁，CD₁所成角．

解答： （I）證明：連接AC交BD于點O，連接EO．
則AO=OC，又E是棱CC₁的中點．
∴AC₁∥EO．
∵EO?平面BDE，AC₁?平面BDE，
∴AC₁∥平面BDE；
（II）V_{三棱錐E-BCD}=

1

2

S△BCD•EC=

1

2

×

1

2

×22×1=1．
（III）連接BA₁，A₁C₁．
則△A₁BC₁為等邊三角形，四邊形A₁BCD₁為平行四邊形．
∴A₁B∥CD₁，
∴∠A₁BC₁為異面直線BC₁，CD₁所成角．
∴∠A₁BC₁=60°為異面直線BC₁，CD₁所成角．

點評：本題考查了正方體的性質(zhì)、線面平行的判定定理、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計算公式、異面直線所成的角，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．