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14.過橢圓x2a2+y22=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F作斜率為1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn).若向量OA+OB與向量a=(3,-1)共線,則該橢圓的離心率為( �。�
A.33B.63C.34D.23

分析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).F(-c,0).直線l的方程為:y=x+c,與橢圓方程聯(lián)立化為:(a2+b2)x2+2ca2x+a2c2-a2b2=0,根據(jù)向量OA+OB與向量a=(3,-1)共線,及其根與系數(shù)的關(guān)系即可得出.

解答 解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).F(-c,0).
直線l的方程為:y=x+c,聯(lián)立{y=x+cx2a2+y22=1,化為:(a2+b2)x2+2ca2x+a2c2-a2b2=0,
∴x1+x2=2ca2a2+2,y1+y2=x1+x2+2c=2c2a2+2,
∴向量OA+OB=(2ca2a2+2,2c2a2+2),
∵向量OA+OB與向量a=(3,-1)共線,
∴-2ca2a2+2-3×2c2a2+2=0,
∴a2=3b2,
e=ca=12a2=63
故選:B.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量共線定理、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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4.已知函數(shù)f(x)=2sin(3ωx+\frac{π}{3}),其中ω>0
(1)若f(x+θ)是周期為2π的偶函數(shù),求ω及θ的值;
(2)若f(x)在(0,\frac{π}{3}]上是增函數(shù),求ω的最大值;
(3)當(dāng)ω=\frac{2}{3}時(shí),將函數(shù)f(x)的圖象向右平移\frac{π}{6}個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10個(gè)零點(diǎn),求b的最小值.

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(1)比賽兩局就結(jié)束且甲獲勝的概率;
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2.某公司為激勵(lì)創(chuàng)新,計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入,若該公司2015年全年投入研發(fā)資金超過130萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是2019年.(參考數(shù)據(jù):lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30).

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9.已知拋物線E:y2=4x的焦點(diǎn)是F,過點(diǎn)F的直線l與拋物線E相交于A,B兩點(diǎn),O為原點(diǎn).
(Ⅰ)若直線l的斜率為1,求\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}的值;
(Ⅱ)設(shè)\overrightarrow{FB}=t\overrightarrow{AF},若t∈[2,4],求直線l的斜率的取值范圍.

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19.已知雙曲線\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1(a>0,b>0)的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,M為圓x2+y2=\frac{{a}^{2}}{4}上的點(diǎn),過左焦點(diǎn)F1與點(diǎn)M的直線交雙曲線右支于點(diǎn)P,若M為線段PF1的中點(diǎn),當(dāng)△PF1F2為銳角三角形時(shí),雙曲線的離心率范圍為(\sqrt{2},\frac{\sqrt{10}}{2})

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6.我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家,某市政府為了鼓勵(lì)全市30萬居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(噸),一位居民的月用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi),超過x的部分按議價(jià)收費(fèi),并希望約80%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x(噸).為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),[4,4.5)分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖中a的值,并估計(jì)全市居民中月均用量不低于3噸的人數(shù);
(2)若每組內(nèi)部,用水量視為均勻分布,估計(jì)x的值(精確到0.1).

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