【題目】已知圓：，過且與圓相切的動圓圓心為.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）已知過點的兩直線和互相垂直，且直線交曲線于，兩點，直線交曲線于，兩點（，，，為不同的四個點），求四邊形的面積的最小值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)動圓半徑為，判斷圓與圓內(nèi)切，從而可得，，由橢圓定義可知，點的軌跡是以、為焦點，實軸長為4的橢圓，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.

（2）分類討論若或的斜率不存在，求出四邊形的面積；若兩條直線的斜率都存在，設(shè)的斜率為，則的斜率為，根據(jù)點斜式求出、的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式求出，由，利用基本不等式即可求解.

解：（1）設(shè)動圓半徑為，由于在圓內(nèi)，故圓與圓內(nèi)切，

則，，∴，

由橢圓定義可知，點的軌跡是以、為焦點，實軸長為4的橢圓，

，，，

∴軌跡的方程為.

（2）若或的斜率不存在，四邊形的面積，

若兩條直線的斜率都存在，設(shè)的斜率為，則的斜率為，

則的方程為，的方程為，

聯(lián)立方程組，得，

由韋達定理得，，

，

設(shè)，，則，

同理可得，

∴

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.

∵，因此當(dāng)時，四邊形的面積取得最小值為.

另解一：

.

當(dāng)即時等號成立.

另解二：也可以令換元求解.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2016年“一帶一路”沿線64個國家GDP之和約為12.0萬億美元，占全球GDP的；人口總數(shù)約為32.1億，占全球總?cè)丝诘?/span>；對外貿(mào)易總額（進口額＋出口額）約為71885.6億美元，占全球貿(mào)易總額的.

2016年“一帶一路”沿線國家情況

人口（萬人）

GDP（億美元）

進口額（億美元）

出口額（億美元）

蒙古

301.4

116.5

38.7

45.0

東南亞11國

63852.5

25802.2

11267.2

11798.6

南亞8國

174499.0

29146.6

4724.1

3308.5

中亞5國

6946.7

2254.7

422.7

590.7

西亞、北非19國

43504.6

36467.5

9675.5

8850.7

東歐20國

32161.9

26352.1

9775.5

11388.4

關(guān)于“一帶一路”沿線國家2016年狀況，能夠從上述資料中推出的是（ ）

A.超過六成人口集中在南亞地區(qū)

B.東南亞和南亞國家GDP之和占全球的以上

C.平均每個南亞國家對外貿(mào)易額超過1000億美元

D.平均每個東歐國家的進口額高于平均每個西亞、北非國家的進口額

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)時，函數(shù)有三個零點.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上有且只有個極值點時，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，判斷函數(shù)的單調(diào)性并說明理由；

（2）若，求證：關(guān)的不等式在上恒成立.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，點E、F、M分別為C1D1，A1D1，B1C1的中點，過點M的平面α與平面DEF平行，且與長方體的面相交，交線圍成一個幾何圖形．

（1）在圖1中，畫出這個幾何圖形，并求這個幾何圖形的面積（不必說明畫法與理由）

（2）在圖2中，求證：D1B⊥平面DEF．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將四個不同的小球放入三個分別標(biāo)有1、2、3號的盒子中，不允許有空盒子的放法有多少種？下列結(jié)論正確的有（ ）.

A.B.C.D.18

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知拋物線C:()的焦點F到直線的距離為．AB是過拋物線C焦點F的動弦，O是坐標(biāo)原點，過A，B兩點分別作此拋物線的切線，兩切線相交于點P．

（1）求證:．

（2）若動弦AB不經(jīng)過點，直線AB與準(zhǔn)線l相交于點N，記MA，MB，MN的斜率分別為，，．問:是否存在常數(shù)λ，使得在弦AB運動時恒成立?若存在，求λ的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“猜想”是指對于每一個正整數(shù),若為偶數(shù),則讓它變成;若為奇數(shù),則讓它變成.如此循環(huán),最終都會變成,若數(shù)字按照以上的規(guī)則進行變換,則變換次數(shù)為偶數(shù)的頻率是( )

A.B.C.D.

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