【題目】已知橢圓： 的短軸長為2，且函數(shù)的圖象與橢圓僅有兩個公共點，過原點的直線與橢圓交于兩點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）點為線段的中垂線與橢圓的一個公共點，求面積的最小值，并求此時直線的方程.

【答案】（1）；（2）的面積的最小值為，此時直線的方程為.

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設條件建立方程求解；（2）先建立直線的方程，再與橢圓方程聯(lián)立，運用坐標建立關于三角形面積公式的目標函數(shù)求解：

（1）由題意可知， ，則，

聯(lián)立與，得：

根據(jù)橢圓與拋物線的對稱性，可得

∴，又，

∴，∴橢圓的標準方程為.

（2）①當直線的斜率不存在時， ；當直線的斜率為0時， ，

②當直線的斜率存在且不為0時，設直線的方程為，由，得，

∴，

由題意可知線段的中垂線方程為，由，得，

∴，

∴

即，當且僅當，即時等號成立，此時的面積取得最小值，

∵，∴的面積的最小值為，此時直線的方程為.

練習冊系列答案
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【題目】亳州某商場舉行購物抽獎活動，規(guī)定每位顧客從裝有編號為0，1，2，3四個相同小求的抽獎箱中，每次取出一球，記下編號后放回，連續(xù)取兩次，若取出的兩個小球號碼相加之和等于6，則中一等獎；等于5中二等獎；等于4或3中三等獎.

（1）求中三等獎的概率；

（2）求不中獎的概率.

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【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間；

（2）若在區(qū)間上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

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【題目】在實數(shù)中定義一種新運算: ，對實數(shù)經(jīng)過運算后是一個確定的唯一的實數(shù)。運算有如下性質(zhì):（1)對任意實數(shù)， ；（2）對任意實數(shù)， 那么:關于函數(shù)的性質(zhì)下列說法正確的是:①函數(shù)的最小值為3；②函數(shù)是偶函數(shù)；③函數(shù)在上為減函數(shù)，這三種說法正確的有__________.

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【題目】若數(shù)列滿足（； ， ），稱數(shù)列為數(shù)列，記為其前項和.

（Ⅰ）寫出一個滿足，且的數(shù)列；

（Ⅱ）若， ，證明：若數(shù)列是遞增數(shù)列，則；反之，若，則數(shù)列是遞增數(shù)列；

（Ⅲ）對任意給定的整數(shù)（），是否存在首項為0的數(shù)列，使得？如果存在，寫出一個滿足條件的數(shù)列；如果不存在，說明理由.

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【題目】為選拔參加“全市高中數(shù)學競賽”的選手，某中學舉行了一次“數(shù)學競賽”活動.為了了解本次競賽學生的成績情況，從中抽取了部分學生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為分）作為樣本（樣本容量為）進行統(tǒng)計.按照的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數(shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在的數(shù)據(jù)）.

（1）求樣本容和頻率分布直方圖中的值并求出抽取學生的平均分；

（2）在選取的樣本中，從競賽成績在分以上（含分)的學生中隨機抽取名學生參加“全市中數(shù)學競賽”求所抽取的名學生中至少有一人得分在內(nèi)的概率.

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【題目】劉徽是我國魏晉時期著名的數(shù)學家，他編著的《海島算經(jīng)》中有一問題：“今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合。從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合。問島高幾何?” 意思是：為了測量海島高度，立了兩根表，高均為5步，前后相距1000步，令后表與前表在同一直線上，從前表退行123步，人恰觀測到島峰，從后表退行127步，也恰觀測到島峰，則島峰的高度為（ ）（注：3丈=5步，1里=300步）

A. 4里55步 B. 3里125步 C. 7里125步 D. 6里55步

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（1）求利潤函數(shù)的函數(shù)關系式，并寫出定義域；

（2）當投入的肥料費用為多少時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

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【題目】已知數(shù)列的前項和．

（1）計算，，，；

（2）猜想的表達式，并用數(shù)學歸納法證明你的結論．

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