Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²-bx．
（I）當(dāng)a=-1時，若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為C（x，0），求證：f′（x）＜0．

Answer 1

【答案】分析：（I）將f（x）在（0，+∞）上遞增，轉(zhuǎn)化成f′（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立，即b≤+2x對x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤即可，根據(jù)基本不等式可求出 ；
（II）根據(jù)f（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，得到，兩式相減，可得，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和導(dǎo)數(shù)，即可證明結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）依題意：f（x）=lnx+x²-bx
∵f（x）在（0，+∞）上遞增，∴f′（x）=+2x-b≥0對x∈（0，+∞）恒成立
即b≤+2x對x∈（0，+∞）恒成立，∴只需b≤
∵x＞0，∴+2x≥2 當(dāng)且僅當(dāng)x=時取“=”，∴b≤2 ，
∴b的取值范圍為（-∞，2 ]；
（II）證明：由已知得，
即，兩式相減，得：⇒，
由f′（x）=-2ax-b及2x=x₁+x₂，得f′（x）=-2ax-b=
==，
令t=∈（0，1），且φ（t）=，
∵φ′（t）=，
∴φ（t）是（0，1）上的減函數(shù)，
∴φ（t）＞φ（1）=0，
又x₁＜x₂，
∴f'（x）＜0．
點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，同時考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．