Question

已知函數(shù)f（x）=ax-x²-lnx在（1，+∞）上是減函數(shù)，求g（x）=e^2x-ae^x-1在[ln

1

3

，0]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，令導(dǎo)函數(shù)小于等于0恒成立，分離出a，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，令a小于等于最小值即可得到a的范圍．通過(guò)換元將函數(shù)g（x）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過(guò)對(duì)對(duì)稱軸與定義域位置關(guān)系的討論，分情況求出函數(shù)的最小值．

解答： 解：由于函數(shù)f（x）=ax-x²-lnx，導(dǎo)數(shù)f′（x）=a-2x-

1

x

，
∵f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴a-2x-

1

x

≤0在（1，+∞）上恒成立，
即a≤2x+

1

x

恒成立，
∴只需a≤（2x+

1

x

）_min即可．
由于（2x+

1

x

）′=2-

1

x2

＞0，則（1，+∞）為增區(qū)間，則有a≤3．
再設(shè)e^x=t，∵x∈[ln

1

3

，0]，則t∈[

1

3

，1]．
設(shè)h（t）=t²-at-1=（t-

a

2

）²-（1+

a2

4

），
其對(duì)稱軸t=

a

2

，由a≤3，則t=

a

2

≤

3

2

，
則當(dāng)

a

2

≤

1

3

時(shí)，[

1

3

，1]為增區(qū)間，g（x）的最小值為h（

1

3

）=-

8

9

-

1

3

a；
當(dāng)1≤

a

2

≤

3

2

時(shí)，[

1

3

，1]為減區(qū)間，g（x）的最小值為h（1）=-a；
當(dāng)

1

3

＜

a

2

＜1時(shí)，g（x）的最小值為h（

a

2

）=-（1+

a2

4

）．
則g（x）的最小值為h（a）=

- 8 9 - 1 3 a，a≤ 2 3 -1- a2 4 ， 2 3 ＜a＜2 -a，2≤a≤3

點(diǎn)評(píng)：解決函數(shù)的單調(diào)性已知求參數(shù)的范圍問(wèn)題，常求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于（或小于等于）0恒成立；解決不等式恒成立問(wèn)題常分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；通過(guò)換元法解題時(shí)，一定注意新變量的范圍．