Question

已知函數(shù)f（x）=

x +1

x -1

，
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，分母不為0，且被開方數(shù)大于或等于0，求出x的取值范圍；
（2）由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（3）根據(jù)f（x）的單調(diào)性，求出f（x）在定義域上的取值范圍，即得值域．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

x +1

x -1

，
∴

x

-1≠0，
∴x≥0且x≠1；
∴f（x）的定義域[0，1）∪（1，+∞）；
（2）∵f（x）=

x +1

x -1

=1+

2

x -1

，
且y=

x

是定義域上的增函數(shù)，
∴y=

2

x -1

在[0，1）和（1，+∞）是的減函數(shù)，
∴f（x）=1+

2

x -1

在[0，1）和（1，+∞）上是減函數(shù)；
（3）∵f（x）=1+

2

x -1

在[0，1）和（1，+∞）上是減函數(shù)；
∴當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）∈（-∞，-1]；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）∈（1，+∞）；
∴f（x）的值域是（-∞，-1]∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用的問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)函數(shù)的定義域求單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的值域，是基礎(chǔ)題．