Question

某游樂園擬建一主題游戲園，該游戲園為四邊形區(qū)域ABCD，其中三角形區(qū)域ABC為主題活動園區(qū)，∠ACB=60°；AD、CD為游客通道（不考慮寬度），通道AD、CD圍成三角形區(qū)域ADC為游客休閑中心，供游客休憩．
（Ⅰ）若AC=20m，BC=24m，求AB的長度．
（Ⅱ）如圖，AB=24m，AD與AB垂直，且∠ADC=120°，∠ABC=θ（45°≤θ≤60°）．記游客通道長度和為L，寫出L關(guān)于θ的關(guān)系式，并求L的最小值．

Answer 1

考點：解三角形的實際應(yīng)用,在實際問題中建立三角函數(shù)模型

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（Ⅰ）利用余弦定理，求AB的長度．
（Ⅱ）求出AD，CD，可得出L關(guān)于θ的關(guān)系式，化簡后求L的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知由余弦定理，得AB²=BC²+AC²-2BC•AC•cos60°=242+202-2×24×20×

1

2

=496，
∴AB=4

31

…（4分）
（Ⅱ）在△ACB中，

AB

sin∠ACB

=

AC

sin∠ABC

，
∴AC=

24sinθ

sin600

=16

3

sinθ…（5分）
由已知得∠CAB=120°-θ，∠CAD=θ-30°
又∠ADC=120°，∠ACD=90°-θ…（6分）
在△ADC中，

AC

sin∠ADC

=

AD

sin∠ACD

=

CD

sin∠CAD

AD=

ACsin(900-θ)

sin1200

=

16 3 sinθ•cosθ

3 2

=16sin2θCD=

ACsin(θ-300)

sin1200

=

16 3 sinθ•( 3 2 sinθ- 1 2 cosθ)

3 2

=16

3

sin2θ-16sinθcosθ=8

3

-8

3

cos2θ-8sin2θ…（9分）
則L=AD+CD=16sin2θ+8

3

-8

3

cos2θ-8sin2θ=8

3

+8sin2θ-8

3

cos2θ=8

3

+16sin(2θ-60°)
因45°≤θ≤60°，當(dāng)θ=45°時，L取到最小值 (8

3

+8)m      …（12分）

點評：本題考查余弦定理，考查正弦定理，考查三角函數(shù)的化簡，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．