已知函數(shù)f(x)=lg
1+x
1-x

(1)判斷f(x)的奇偶性;
(2)判斷f(x)在(0,1)上的單調(diào)性,并證明.
(3)求證:f(a)+f(b)=f(
a+b
1+ab

(4)若f(
a+b
1+ab
)=1,f(
a-b
1-ab
)=2(-1<a<1,-1<b<1),求f(a),f(b)的值.
分析:(1)先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱,若對稱再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系,易判斷函數(shù)的奇偶性;
(2)利用定義法(作差法),任取區(qū)間(0,1)上的兩個實數(shù),a,b且a<b,然后判斷f(a)與f(b)的大小,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義即可得到結(jié)論;
(3)根據(jù)函數(shù)解析式,及對數(shù)的運算性質(zhì),分別計算出f(a)+f(b)與f(
a+b
1+ab
)
的值,即可得到結(jié)論;
(4)根據(jù)f(
a+b
1+ab
)=1,f(
a-b
1-ab
)=2結(jié)合(3)的結(jié)論,我們易構(gòu)造一個關(guān)于f(a)與f(b)的方程組,解方程組即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)∵
1+x
1-x
>0
∴-1<x<1,即函數(shù)的定義域(-1,1)
∵定義域關(guān)于原點對稱
f(-x)=lg
1-x
1+x
=lg
1+x
1-x
=-f(x)故f(x)為奇函數(shù)
(2)任取區(qū)間(0,1)上的兩個實數(shù),a,b且a<b
則f(a)-f(b)=lg
1+a
1-a
-lg
1+b
1-b
=lg(
1+a
1-a
÷
1+b
1-b
)
=lg(
1+a
1-a
1-b
1+b
)
>0
即f(a)>f(b)
∴f(x)在(0,1)上為減函數(shù).
(3)∵f(a)+f(b)=lg
1+a
1-a
+lg
1+b
1-b
=lg
1+a+b+ab
1-a-b-ab

又∵f(
a+b
1+ab
)
=lg
1+
a+b
1+ab
1-
a+b
1+ab
=lg
1+a+b+ab
1-a-b+ab
,
∴f(a)+f(b)=f(
a+b
1+ab
)

(4)∵f(a)+f(b)=f(
a+b
1+ab
)

∴f(a)+f(b)=1
f(a)+f(-b)=f(
a-b
1-ab
)
,
∴f(a)+f(-b)=2
∵f(-b)=-f(b),
∴f(a)-f(b)=2,
解得:f(a)=
3
2
,f(b)=-
1
2
點評:本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性判斷,函數(shù)的單調(diào)性證明,對數(shù)的運算性質(zhì),抽象函數(shù)求值,熟練掌握函數(shù)性質(zhì)的定義是解答本題的關(guān)鍵.
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2(x-1)
x+1
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x1+x2
2
時,又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當x≥e時,對于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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1
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3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當x>0時,函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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