Question

已知H為銳角△ABC的垂心，PH⊥平面ABC，∠BPC=90°，求證：∠BPA=90°，∠APC=90°．

Answer 1

考點：三角形中的幾何計算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：延長BH交AC于F，延長CH交AB于E，先通過線面垂直的判定定理證明出PB⊥平面APC，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明出PB⊥AP，從而可得∠BPA=90°．同理AP⊥平面PBC，從而有AP⊥PC，即∠APC=90°．

解答：
證明：延長BH交AC于F，延長CH交AB于E，
∵AC⊥BF，AC⊥PH
∴AC⊥平面PHF，
∵PB?平面PHF，
∴AC⊥PB
又∵∠BPC=90°即PB⊥PC
∴PB⊥平面APC
∵AP?平面APC
∴PB⊥AP
∴∠BPA=90°．
同理可證，CB⊥AH，CB⊥PH，
∴CB⊥AP，
又∵AP⊥BP，
∴AP⊥平面PBC，從而有AP⊥PC，即∠APC=90°．

點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理和線面垂直的性質(zhì)．要求學生對基礎(chǔ)定理能熟練記憶并靈活運用，屬于基礎(chǔ)知識的考查．