Question

【題目】已知點(diǎn)F1為橢圓的左焦點(diǎn)，在橢圓上，PF1⊥x軸．

（1）求橢圓的方程：

（2）已知直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為的大小是否為定值？若是，求出該定值：若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y2＝1；（2）∠AOB為定值

【解析】

（1）由PF1⊥x軸，及點(diǎn)P的坐標(biāo)可得F1的坐標(biāo)，即c的值，將P的坐標(biāo)代入，由a，b，c之間的關(guān)系的關(guān)系求出a，b的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；

（2）分直線l的斜率存在和不存在兩種情況討論：當(dāng)斜率不存在時(shí)由原點(diǎn)到直線的距離可得直線l的方程，代入橢圓中求出A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得數(shù)量積的值為0，可得∠AOB；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，由原點(diǎn)到直線的距離可得參數(shù)之間的關(guān)系，將其代入數(shù)量積的表達(dá)式，可得恒為0，即∠AOB恒為定值

（1）因?yàn)?/span>PF1⊥x軸，又在橢圓上，可得F1(﹣1，0)，

所以c=1，1，a2=c2+b2，

解得a2=2，b2=1，

所以橢圓的方程為：y2=1；

（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由原點(diǎn)O到直線l的距離為，

可得直線l的方程為：x，

代入橢圓可得A(,)，B(,)或A(,)，B(,)，

可得，所以∠AOB；

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：y=kx+m，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由原點(diǎn)O到直線l的距離為，可得，可得3m2＝2(1+k2)，①

直線與橢圓聯(lián)立，整理可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0，

=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)>0，將①代入中可得=16m2+8>0，

x1+x2，x1x2，

y1y2＝k2x1x2+km(x1+x2)+m2，

所以，

將①代入可得0，

所以∠AOB；

綜上所述∠AOB恒成立．