分析 (1)設(shè)Q(x0,0),F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),A(0,b),→AF2=(c,-b),→AQ=(x0,-b).由于→AF2⊥→AQ,可得→AF2•→AQ=0,解得x0.利用2→F1F2+→F2Q=0,即可得出.
(2)由(1)可知:ca=12,可得c=12a,可得F2(12a,0),Q(−32a,0).可得△AQF2的外接圓的圓心為(−12a,0),半徑r=12|F2Q|=a.利用直線與圓相切的性質(zhì)可得:|−12a−0−3|2=a,解得即可得出.
(3)由(2)可知:F2(1,0),設(shè)I:y=k(x-1),與橢圓方程聯(lián)立化為:(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).根據(jù)菱形的對角線相互垂直的性質(zhì)可得:(→PM+→PN)•→MN=0代入化簡即可得出.
解答 解:(1)設(shè)Q(x0,0),F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),A(0,b),→AF2=(c,-b),→AQ=(x0,-b).
∵→AF2⊥→AQ,∴→AF2•→AQ=cx0+b2=0,解得x0=-2c.
∵2→F1F2+→F2Q=0,∴2(2c,0)+(−2c−c,0)=0,4c=2c+c,化為4c2=a2,解得a=2c,∴e=ca=12.
(2)由(1)可知:ca=12,可得c=12a,∴F2(12a,0),Q(−32a,0).∴△AQF2的外接圓的圓心為(−12a,0),∴半徑r=12|F2Q|=a.
∴|−12a−0−3|2=a,解得:a=2,∴c=1,b2=3,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x24+y23=1.
(3)由(2)可知:F2(1,0),設(shè)I:y=k(x-1),聯(lián)立{y=k(x−1)x24+y23=1,化為:(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).則x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2−123+4k2.
y1+y2=k(x1+x2-2),→PM+→PN=(x1-m,y1)+(x2-m,y2)=(x1+x2-2m,y1+y2).
根據(jù)菱形的對角線相互垂直的性質(zhì)可得:(→PM+→PN)•→MN=0,
∴x1+x2-2m+k(y1+y2)=0.
∴k2(x1+x2-2)+(x1+x2-2m)=0,k2(8k23+4k2−2)+8k23+4k2−2m=0,k≠0,
化為m=k23+4k2=13k2+4∈(0,14).
點評 本題考查了拋物線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、菱形的對角線的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{17π}{2} | B. | 9π | C. | \frac{19π}{2} | D. | 10π |
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A. | a<b<c | B. | b<a<c | C. | c<a<b | D. | c<b<a |
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