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13.設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=l(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,上頂點為A,過點A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點Q,且2F1F2+F2Q=0.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)若過A、Q、F2三點的圓恰好與直線l:x-3y-3=0相切,求橢圓C的方程;
(3)在(2)的條件下,過右焦點F2作斜率為k的直線I與橢圓C交于M、N兩點,在x軸上是否存在點P(m,0)使得以PM、PN為鄰邊的平行四邊形是菱形,如果存在,求出m的取值范圍;如果不存在,說明理由.

分析 (1)設(shè)Q(x0,0),F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),A(0,b),AF2=(c,-b),AQ=(x0,-b).由于AF2AQ,可得AF2AQ=0,解得x0.利用2F1F2+F2Q=0,即可得出.
(2)由(1)可知:ca=12,可得c=12a,可得F212a0,Q32a0.可得△AQF2的外接圓的圓心為12a0,半徑r=12|F2Q|=a.利用直線與圓相切的性質(zhì)可得:|12a03|2=a,解得即可得出.
(3)由(2)可知:F2(1,0),設(shè)I:y=k(x-1),與橢圓方程聯(lián)立化為:(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).根據(jù)菱形的對角線相互垂直的性質(zhì)可得:PM+PNMN=0代入化簡即可得出.

解答 解:(1)設(shè)Q(x0,0),F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),A(0,b),AF2=(c,-b),AQ=(x0,-b).
AF2AQ,∴AF2AQ=cx0+b2=0,解得x0=-2c
∵2F1F2+F2Q=0,∴2(2c,0)+2cc0=0,4c=2c+c,化為4c2=a2,解得a=2c,∴e=ca=12
(2)由(1)可知:ca=12,可得c=12a,∴F212a0,Q32a0.∴△AQF2的外接圓的圓心為12a0,∴半徑r=12|F2Q|=a.
|12a03|2=a,解得:a=2,∴c=1,b2=3,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x24+y23=1.
(3)由(2)可知:F2(1,0),設(shè)I:y=k(x-1),聯(lián)立{y=kx1x24+y23=1,化為:(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).則x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2123+4k2
y1+y2=k(x1+x2-2),PM+PN=(x1-m,y1)+(x2-m,y2)=(x1+x2-2m,y1+y2).
根據(jù)菱形的對角線相互垂直的性質(zhì)可得:PM+PNMN=0,
∴x1+x2-2m+k(y1+y2)=0.
∴k2(x1+x2-2)+(x1+x2-2m)=0,k28k23+4k22+8k23+4k22m=0,k≠0,
化為m=k23+4k2=13k2+4014

點評 本題考查了拋物線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、菱形的對角線的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

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(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A,B兩點,且以AB為直徑的圓過橢圓右頂點M,求證:直線l恒過定點.

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(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)直線l:x=2\sqrt{2}與x軸交于D,P是橢圓C上異于A1、A2的動點,直線A1P、A2P分別交直線l于E、F兩點,求證:|DE|•|DF|為定值.

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(2)若直線l的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.(t為參數(shù))當(dāng)直線l與曲線C相交于A,B兩點,求|\overrightarrow{AB}|

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