Question

如圖，對(duì)于函數(shù)f（x）=x²（x＞0）的圖象上不同兩點(diǎn)A（a，a²）、B（b，b²），直線段AB
必在弧線段AB的上方，設(shè)點(diǎn)C分

AB

的比為λ（λ＞0），則由圖象中點(diǎn)C在點(diǎn)C'上方可得不等式

a2+λb2

1+λ

＞(

a+λb

1+λ

)2．請(qǐng)分析函數(shù)y=lnx（x＞0）的圖象，類比上述不等式，可以得到的不等式是

lna+λlnb

1+λ

＜ln

a+λb

1+λ

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=x²（x＞0）的圖象可知，此函數(shù)的圖象是向下凹的，即可得到不等式

a2+λb2

1+λ

＞(

a+λb

1+λ

)2，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象的特征，即可類比得到相應(yīng)的不等式．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x²（x＞0）上任意兩點(diǎn)A（a，a²）、B（b，b²），線段AB在弧線段AB的上方，
設(shè)點(diǎn)C分

AB

的比為λ（λ＞0），則由圖象中點(diǎn)C在點(diǎn)C'上方可得不等式

a2+λb2

1+λ

＞(

a+λb

1+λ

)2．
據(jù)此我們從圖象可以看出：
函數(shù)f（x）=x²（x＞0）的圖象是向下凹的，
類比對(duì)數(shù)函數(shù)可知，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象是向上凸的，
分析函數(shù)y=lnx（x＞0）的圖象，類比上述不等式，可以得到的不等式是

lna+λlnb

1+λ

＜ln

a+λb

1+λ

．
故答案為：

lna+λlnb

1+λ

＜ln

a+λb

1+λ

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查類比推理的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的凸凹性，本題比較簡(jiǎn)單．