精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情
已知向量a
=(cos3 2
x,sin3 2
x),b
=(cosx 2
,-sinx 2
),且x∈[0,π 2
].
(1)當(dāng)x=π 4
時(shí),求|a
+b
|;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=|a
+b
|+a
•b
,求函數(shù)f(x)的最值及相應(yīng)的x的值.
分析:(1)由題意得出向量a
、b
的坐標(biāo),利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)出a
+b
=(sinπ 8
+cosπ 8
,cosπ 8
-sinπ 8
),再根據(jù)向量模的公式加以計(jì)算,即可算出的|a
+b
|值;
(2)由向量的數(shù)量積公式、模的公式和三角恒等變換公式,結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出f(x)=2cos2x+2cosx-1,最后利用x∈[0,π 2
]得cosx∈[0,1],即可得到f(x)的最值及相應(yīng)的x的值.解答:解:(1)當(dāng)x=π 4
時(shí),a
=(cos3 2
x,sin3 2
x)=(cos3π 8
,sin3π 8
),
b
=(cosx 2
,-sinx 2
)=(cosπ 8
,-sinπ 8
),
∴a
+b
=(cos3π 8
+cosπ 8
,sin3π 8
-sinπ 8
)=(sinπ 8
+cosπ 8
,cosπ 8
-sinπ 8
)
可得|a
+b
|2=(sinπ 8
+cosπ 8
)2+(cosπ 8
-sinπ 8
)2=2(sin2π 8
+cos2π 8
)=2
∴|a
+b
|=2
;
(2)∵a
=(cos3 2
x,sin3 2
x),b
=(cosx 2
,-sinx 2
),
∴a
•b
=cos3 2
xcosx 2
+sin3 2
x(-sinx 2
)=cos2x,|a|
=|b|
=1
可得|a
+b
|2=a
2+2a
•b
+b
2=2+2cos2x=2+2(2cos2x-1)=4cos2x,
∴由x∈[0,π 2
],得|a
+b
|=4cos2x
=2cosx
f(x)=|a
+b
|+a
•b
=2cosx+cos2x=2cos2x+2cosx-1,
∵cosx∈[0,1],
∴當(dāng)cosx=0時(shí)即x=π 2
時(shí),f(x)的最小值為-1;cosx=1時(shí)即x=0時(shí),f(x)的最大值為3.點(diǎn)評(píng):本題給出向量含有三角函數(shù)式的坐標(biāo)形式,求f(x)=|a
+b
|+a
•b
的最值及相應(yīng)的x的值.著重考查了向量數(shù)量積公式、模的公式和三角恒等變換公式等知識(shí),屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:
已知向量a
=(-cosα,1+sinα),b
=(2sin2α 2
,sinα).
(Ⅰ)若|a
+b
|=3
,求sin2α的值;
(Ⅱ)設(shè)c
=(cosα,2),求(a
+c
)•b
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:
已知向量a
=(cosωx-sinωx,sinωx),b
=(-cosωx-sinωx,23
cosωx),其中ω>0,且函數(shù)f(x)=a
•b
+λ(λ為常數(shù))的最小正周期為π.
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的圖象的對(duì)稱軸;
(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(π 4
,0),求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,5π 12
]上的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:
已知向量a
=(cosθ 2
,sinθ 2
),b
=(2,1),且a
⊥b
.
(1)求tanθ的值;
(2 )求cos2θ 2
cos(π 4
+θ)•sinθ
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:
已知向量a
=(cos(ωx-π 6
), sin(ωx-π 4
)), b
=(sin(2 3
π-ωx), sin(ωx+π 4
))(其中ω>0).若函數(shù)f(x)=2a
•b
-1的圖象相鄰對(duì)稱軸間距離為π 2
.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求f(x)在[-π 12
, π 2
]上的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:
題型:
已知向量a
=(cosθ,sinθ),b=
(cos2θ-1,sin2θ),c
=(cos2θ,sin2θ-3
).其中θ≠kπ,k∈Z.
(1)求證:a
⊥b
;
(2)設(shè)f(θ)=a
•c
,且θ∈(0,π),求f(θ)的值域.
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