Question

已知函數(shù)，且，函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且與的圖象關(guān)于直線對稱，將函數(shù)的圖象向左平移2個單位后得到函數(shù)的圖象．

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）若在區(qū)間上的值不小于8，求實數(shù)的取值范圍．

（III）若函數(shù)滿足：對任意的（其中），有，稱函數(shù)在的圖象是“下凸的”．判斷此題中的函數(shù)圖象在是否是“下凸的”？如果是，給出證明；如果不是，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

．（Ⅰ）（Ⅱ）a≥12（III）是

【解析】本試題主要考查了函數(shù)的解析式和函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的下凸形的運用。

（1）由題意得h(x)的圖象經(jīng)過(3，4)，

代入得，解得m=7. ∴分

∴．

（2）∵，

∴ 由已知有≥8有a≥-x²+8x-3， 令t(x)=-x²+8x-3，則t(x)=-(x-4)²+13，于是t(x)在(0，3)上是增函數(shù)．∴ t(x)_max=12．∴ a≥12

（3）的圖象在是“下凸的”，根據(jù)新定義證明，

解：（Ⅰ）由題意得h(x)的圖象經(jīng)過(3，4)，

代入得，解得m=7.                       1分

∴                      2分

∴．                          4分

（Ⅱ）∵，

∴ 由已知有≥8有a≥-x²+8x-3，                                  6分

令t(x)=-x²+8x-3，則t(x)=-(x-4)²+13，于是t(x)在(0，3)上是增函數(shù)．

∴ t(x)_max=12．

∴ a≥12．                                                              8分

（III）的圖象在是“下凸的”．                9分

的圖象在是“下凸的”．                12分