Question

在數(shù)列{a_n}與{b_n}中，a₁＝1，b₁＝4，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足nS_n+1－(n＋3)S_n＝0，2a_n+1為b_n與b_n+1的等比中項(xiàng)，n∈N*．

(Ⅰ)求a₂，b₂的值；

(Ⅱ)求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；

(Ⅲ)設(shè)．證明|T_n|＜2n²，n≥3．

Answer 1

答案：
解析：

本小題主要考查等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的概念、等比中項(xiàng)、不等式證明、數(shù)學(xué)歸納等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法．滿分14分 　　(Ⅰ)解：由題設(shè)有，，解得．由題設(shè)又有，，解得． 　　(Ⅱ)解法一：由題設(shè)，，，及，，進(jìn)一步可得，，，，猜想，，． 　　先證，． 　　當(dāng)時，，等式成立．當(dāng)時用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： 　　(1當(dāng)時，，等式成立． 　　(2)假設(shè)時等式成立，即，． 　　由題設(shè)，…………① 　　……② 　�、俚膬蛇叿謩e減去②的兩邊，整理得，從而 　　． 　　這就是說，當(dāng)時等式也成立．根據(jù)(1)和(2)可知，等式對任何的成立． 　　綜上所述，等式對任何的都成立 　　再用數(shù)學(xué)歸納法證明，． 　　(1)當(dāng)時，，等式成立． 　　(2)假設(shè)當(dāng)時等式成立，即，那么 　　． 　　這就是說，當(dāng)時等式也成立．根據(jù)(1)和(2)可知，等式對任何的都成立． 　　解法二：由題設(shè)……① 　　………② 　�、俚膬蛇叿謩e減去②的兩邊，整理得，．所以 　　， 　　， 　　…… 　　，． 　　將以上各式左右兩端分別相乘，得， 　　由(Ⅰ)并化簡得，． 　　止式對也成立． 　　由題設(shè)有，所以，即，． 　　令，則，即．由得，．所以，即，． 　　解法：由題設(shè)有，，所以 　　， 　　， 　　…… 　　，． 　　將以上各式左右兩端分別相乘，得，化簡得 　　，． 　　由(Ⅰ)，上式對也成立．所以，． 　　上式對時也成立． 　　以下同解法二，可得，． 　　(Ⅲ)證明：． 　　當(dāng)，時， 　　． 　　注意到，故 　　． 　　當(dāng)，時， 　　當(dāng)，時， 　　． 　　當(dāng)，時， 　　． 　　所以． 　　從而時，有 　　總之，當(dāng)時有，即．