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18.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,AB=BC=2a,AC=23a,E的PA的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面BED⊥平面PAC;
(Ⅱ)求點(diǎn)E到平面PBC的距離.

分析 (Ⅰ)設(shè)AC∩BD=O,證明AC⊥平面BED,即可證明平面BED⊥平面PAC;
(Ⅱ)點(diǎn)E到平面PBC的距離=點(diǎn)O到平面PBC的距離,作OF⊥BC,垂足為F,證明OF⊥平面PBC,即可求出求點(diǎn)E到平面PBC的距離.

解答 (Ⅰ)證明:設(shè)AC∩BD=O,則EO∥AC,AC⊥BD,
∵PC⊥平面ABCD,
∴EO⊥平面ABCD,
∵AC⊥平面ABCD,
∴AC⊥EO,
∵BD∩EO=O,
∴AC⊥平面BED,
∵AC?平面PAC,
∴平面BED⊥平面PAC;
(Ⅱ)解:點(diǎn)E到平面PBC的距離=點(diǎn)O到平面PBC的距離,
作OF⊥BC,垂足為F,
∵PC⊥平面ABCD,OF?平面ABCD,∴PC⊥OF,
∵BC∩PC=C,∴OF⊥平面PBC
∵AB=BC=2a,AC=23a,∴∠ABC=120°,
∴O到BC的距離為OF=32a,
即點(diǎn)E到平面PBC的距離為32a.

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直、平面與平面垂直的證明,考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.

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