Question

10．在△ABC中，三內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且$\frac{c-b}{{\sqrt{2}c-a}}=\frac{sinA}{sinB+sinC}$
（I）求角B的大小，
（Ⅱ）設$\overrightarrow{m}=（sinA+cosA，1），\overrightarrow{n}=（2，cos（\frac{π}{2}-2A））$，求$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由正弦定理化簡已知可得a²+c²-b²=$\sqrt{2}$ac，利用余弦定理可求cosB，由范圍B∈（0，π），利用特殊角的三角函數(shù)值即可求B的值．
（Ⅱ）利用向量數(shù)量積的運算可求$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=2（sinA+cosA）+sin2A，令t=sinA+cosA，可得：sin2A=t²-1，可求$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=（t+1）²-2，又t=sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$），0$＜A＜\frac{3π}{4}$，可求0＜$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）$≤\sqrt{2}$，利用二次函數(shù)的性質可求$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$的取值范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（I）∵$\frac{c-b}{{\sqrt{2}c-a}}=\frac{sinA}{sinB+sinC}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{c-b}{\sqrt{2}c-a}$=$\frac{a}{b+c}$，整理可得：a²+c²-b²=$\sqrt{2}$ac，…2分
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…4分
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{4}$．
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{m}=（sinA+cosA，1），\overrightarrow{n}=（2，cos（\frac{π}{2}-2A））$，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=2（sinA+cosA）+cos（$\frac{π}{2}$-2A）=2（sinA+cosA）+sin2A，…7分
令t=sinA+cosA，則t²=（sinA+cosA）²=1+sin2A，可得：sin2A=t²-1，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=f（t）=2t+t²-1=（t+1）²-2，…9分
又t=sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$），0$＜A＜\frac{3π}{4}$，
∴$\frac{π}{4}$＜A+$\frac{π}{4}$＜π，可得：0＜$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）$≤\sqrt{2}$，…10分
∴-1＜$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=f（t）≤1+2$\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$的取值范圍是：（-1，1+2$\sqrt{2}$]．…12分

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函數(shù)值，向量數(shù)量積的運算，二次函數(shù)的圖象和性質的綜合應用，考查了轉化思想和數(shù)形結合思想，屬于中檔題．