Question

15．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，它的一個焦點在拋物線y²=-4x的準線上．點E為橢圓C的右焦點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l：y=kx+t與橢圓C交于M，N兩點．
（i）若t≠0，直線EM與EN的斜率分別為k₁、k₂，滿足k₁+k₂=0，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標；
（ii）在x軸上是否存在點G（m，0），使得|MG|=|NG|，且|MN|=2？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線準線方程則c=1，則橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）（i）將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理，結合直線的斜率公式，可得m=-2k，進而得到直線恒過定點（2，0）；
（ii）利用弦長公式求得丨MN丨，由|MG|=|NG|，G在線段MN的中垂線上，直線GD的方程，求得m²=$\frac{{k}^{2}{t}^{2}}{（2{k}^{2}+1）^{2}}$，代入利用基本不等式的性質，即可求得實數(shù)m的取值范圍；

解答 解：（1）由題意可知：橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，
拋物線y²=-4x準線方程x=1，則c=1，
∴a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
則△=16k²t²-8（1+2k²）（t²-1）＞0，
則x₁+x₂=-$\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{t}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
（i）證明：∵k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{k{x}_{1}+t}{{x}_{1}-1}$+$\frac{k{x}_{2}+t}{{x}_{2}-1}$=0，
∴2kx₁x₂-2t+（t-k）（x₁+x₂）=0，
代入韋達定理，可得2k•$\frac{2{t}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-2t+（t-k）（-$\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}$）=0，
化簡可得t=-2k，
則直線的方程為y=kx-2k，即y=k（x-2），
故直線l恒過定點（2，0）；
（ii）假設存在點G（m，0）滿足題意題意，丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
則丨MN丨=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{{k}^{2}+1}•\sqrt{2{k}^{2}+1-{t}^{2}}}{2{k}^{2}+1}$=2，
化簡整理得t²=$\frac{2{k}^{2}+1}{2（{k}^{2}+1）}$，
此時判別式△=8（2k²+1-t²）=8[2k²+1-$\frac{2{k}^{2}+1}{2（{k}^{2}+1）}$]＞0恒成立，
∴k∈R，
設MN中點D（x₀，y₀），則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2kt}{2{k}^{2}+1}$，y₀=$\frac{t}{2{k}^{2}+1}$，
由|MG|=|NG|，則G在線段MN的中垂線上，
當k≠0，直線GD的方程為y-$\frac{t}{2{k}^{2}+1}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{2kt}{2{k}^{2}+1}$），當y=0，可得m=-$\frac{kt}{2{k}^{2}+1}$，
則m²=$\frac{{k}^{2}{t}^{2}}{（2{k}^{2}+1）^{2}}$，
則m²=$\frac{{k}^{2}}{2{（k}^{2}+1）（2{k}^{2}+1）}$=$\frac{1}{2（2{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+3）}$，
故m²≤$\frac{1}{2（2\sqrt{2{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}+3}）}$=$\frac{1}{2（2\sqrt{2}+3）}$=$\frac{1}{（\sqrt{2}）^{2}（\sqrt{2}+1）^{2}}$，
即丨m丨≤$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，且m≠0，
∴m的取值范圍為[-$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$）∪（0，$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$]，
當k=0時，m=0，
綜上，m的取值范圍為[-$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$]．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，考查直線恒過定點的求法，注意運用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和直線的斜率公式，注意運用等比數(shù)列的中項的性質和韋達定理及弦長公式，中點坐標公式，基本不等式的綜合應用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．