Question

已知函數(shù)f(x)＝(m，n∈R)在x=1處取得極大值2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的極值；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=x²-2ax+a，若對于任意x₂∈[-1，1]，總存在x₁∈R，使得g（x₂）≤f（x₁），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）f（x）=
（2）當(dāng)x=-1時，函數(shù)f（x）有極小值-2；當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）有極大值2；
（3）a的取值范圍為

解：（1）∵函數(shù)f(x)＝(m，n∈R)在x=1處取得極大值2．
∴，
又由f′（x）==，
由題意得  ，解得m=4,n=1，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m=4，n=1時，函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值2  
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=；
（2）∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽且由（1）有f′（x）=
令f′（x）=0，解得：x=±1
∴當(dāng)x變化時，f（x），f′（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	減	極小值-2	增	極大值2	減

∴當(dāng)x=-1時，函數(shù)f（x）有極小值-2；當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）有極大值2；
（3）由（2）知函數(shù)f（x）的大致圖象如圖所示：

則f（x）在x=-1處取得極小值f（-1）=-2，
在x=1處取得極大值f（1）=2
又∵x＞0時，f（x）＞0，
∴f（x）的最小值為-2，∴
∵若對于任意x₂∈[-1，1]，總存在x₁∈R，使得g（x₂）≤f（x₁）
∴當(dāng)x∈[-1，1]時，
當(dāng)a≤-1時，,得a=-1，
當(dāng)a≥1時，,得無解.
當(dāng)-1 <a< 1時，,得-1 <a< 1.
綜上所述.a的取值范圍為.