(1)請畫出該幾何體的直觀圖,并求出它的體積.
(2)用多少個這樣的幾何體可以拼成一個棱長為6的正方體ABCD—A1B1C1D1?如何組拼?試證明你的結(jié)論.
(3)在(2)的情形下,設(shè)正方體ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中點為E,求面AB1E與面ABC所成二面角的余弦值.
解:(1)該幾何體的直觀圖如圖(1)所示,它是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.其中底面ABCD是邊長為6的正方形,高為CC1=6,故所求體積是V=×62×6=72.
(1)
(2)依題意,正方體的體積是原四棱錐體積的3倍,故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體,其拼法如圖(2)所示.
(2)
證明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D為全等的正方形,
于是==.
故所拼圖形成立.
(3)方法一:設(shè)B1E,BC的延長線交于點G,連結(jié)GA,在底面ABC內(nèi)作BH⊥AG,垂足為H,連結(jié)HB1,則B1H⊥AG,故∠B1HB為平面AB1E與平 面ABC所成二面角或其補角的平面角.
在Rt△ABG中,AG=,則BH==,
B1H==,cos∠B1HB==,
故面AB1E與面ABC所成二面角的余弦值為.
方法二:以C為原點,CD、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標系(如圖(3)),
(3)
∵正方體棱長為6,則E(0,0,3),B1(0,6,6),A(6,6,0).
設(shè)向量n=(x,y,z),滿足n⊥EB1,n⊥AB1,
于是解得
取z=2,得n=(2,-1,2).又=(0,0,6),cos〈n,〉===,
根據(jù)圖形:面AB1E與面ABC所成二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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