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18.已知函數(shù)g(x)=2xalnxaRfx=x2+g(x).
(1)試判斷g(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)在區(qū)間(0,1)上有極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)當a>0時,若f(x)有唯一的零點x0,試求[x0]的值.(注:[x]為取整函數(shù),表示不超過x的最大整數(shù),如[0.3]=0,[2.6]=2,[-1.4]=-2;以下數(shù)據(jù)供參考:ln2=0.6931,ln3=1.099,ln5=1.609,ln7=1.946)

分析 (1)求出g(x)的導(dǎo)數(shù),討論當a≥0時,當a<0時,由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間;導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間,注意定義域;
(2)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),令h(x)=2x3-ax-2,x∈(0,+∞),求出導(dǎo)數(shù),討論a的符號,判斷單調(diào)性,即可得到所求a的范圍;
(3)由(2)可知:f(1)=3知x∈(0,1)時,f(x)>0,則x0>1,討論f(x)在x>1的單調(diào)性,再由零點的定義和極值點的定義,可得x0的方程,構(gòu)造函數(shù)tx=2lnx13x31x1,判斷單調(diào)性,由零點存在性定理知 t(2)<0,t(3)>0,即可得到所求值.

解答 解:(1)gx=2xalnxx0,gx=2x2ax=ax+2x2
①當a≥0時,g'(x)<0,∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減;
②當a<0時,由g'(x)=0,解得x=2a,
x02a時,g'(x)<0,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞減;
x2a+時,g'(x)>0,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.         …(3分)
(2)f(x)=x2+g(x),其定義域為(0,+∞).
fx=2x+gx=2x3ax2x2,…(4分)
令h(x)=2x3-ax-2,x∈(0,+∞),h'(x)=6x2-a,
當a<0時,h'(x)>0恒成立,∴h(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
又h(0)=-2<0,h(1)=-a>0,
∴函數(shù)h(x)在(0,1)內(nèi)至少存在一個變號零點x0,且x0也是f'(x)的變號零點,
此時f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極值.                   …(5分)
當a≥0時,h(x)=2(x3-1)-ax<0,即x∈(0,1)時,f'(x)<0恒成立,
∴函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞減,此時函數(shù)f(x)無極值 …(6分)
綜上可得:f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極值時實數(shù)a的取值范圍是(-∞,0);…(7分)
(3)∵a>0時,函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)
由(2)可知:f(1)=3知x∈(0,1)時,f(x)>0,∴x0>1.
又f(x)在區(qū)間(1,+∞)上只有一個極小值點記為x1,
且x∈(1,x1)時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
x∈(x1,+∞)時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,
由題意可知:x1即為x0.                  …(9分)
{fx0=0fx0=0,∴{x20+2x0alnx0=02x30ax02=0消去可得:2lnx0=1+3x301
2lnx01+3x301=0
tx=2lnx13x31x1,則t(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增
又∵t2=2ln213231=2×0.69731372×710137=1350t3=2ln313331=2×1.09913262×11326=23260
由零點存在性定理知 t(2)<0,t(3)>0
∴2<x0<3∴[x0]=2.    …(12分)

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用:求單調(diào)區(qū)間和極值,考查函數(shù)零點定理的運用,同時考查分類討論和構(gòu)造函數(shù)法,以及化簡整理的運算能力,具有一定的綜合性,屬于難題.

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 分組 頻數(shù) 頻率
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[60,70) a 0.20
[70,80) 35 b
[80,90) 25 0.25
[90,100) 15 0.15
 合計 100 1.00
( I)求a,b的值及隨機抽取一考生恰為優(yōu)秀生的概率;
(Ⅱ)按頻率分布表中的成績分組,采用分層抽樣抽取20人參加學(xué)校的“我愛國學(xué)”宣傳活動,求其中優(yōu)秀生的人數(shù);
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