Question

若函數滿足：集合中至少存在三個不同的數構成等比數列，則稱函數是等比源函數.

（Ⅰ）判斷下列函數：①；②；③中，哪些是等比源函數？（不需證明）

（Ⅱ）判斷函數是否為等比源函數，并證明你的結論；

（Ⅲ）證明：，函數都是等比源函數.

Answer 1

解：（Ⅰ）①②③都是等比源函數.                                

（Ⅱ）函數不是等比源函數.                      

      證明如下：

假設存在正整數且，使得成等比數列，

      ，整理得，    

等式兩邊同除以得.

      因為，所以等式左邊為偶數，等式右邊為奇數，

      所以等式不可能成立，

      所以假設不成立，說明函數不是等比源函數.     

（Ⅲ）法1：

因為，都有，

所以，數列都是以為首項公差為的等差數列.

，成等比數列，

因為，

，

所以，

所以，函數都是等比源函數.

（Ⅲ）法2：

因為，都有，

所以，數列都是以為首項公差為的等差數列.

         由，（其中）可得

         ，整理得

         ，

         令，則，

         所以，

         所以，數列中總存在三項成等比數列.

所以，函數都是等比源函數.