Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=

an

an+1

，則a_n?=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：對(duì)已知關(guān)系式a_n+1=

an

an+1

，兩端取倒數(shù)，可證得數(shù)列{

1

an

}是以

1

2

為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，從而可求得數(shù)列{

1

an

}的通項(xiàng)公式，繼而可得答案．

解答： 解：∵a₁=2，a_n+1=

an

an+1

，
∴

1

an+1

=

an+1

an

=1+

1

an

，
∴

1

an+1

-

1

an

=1，
又

1

a1

=

1

2

，
∴數(shù)列{

1

an

}是以

1

2

為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴

1

an

=

1

2

+（n-1）×1=

2n-1

2

，
∴a_n?=

2

2n-1

．
故答案為：

2

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，對(duì)已知關(guān)系式a_n+1=

an

an+1

，兩端取倒數(shù)是關(guān)鍵，考查等差關(guān)系的確定及其通項(xiàng)公式的應(yīng)用，突出考查轉(zhuǎn)化思想．