Question

關于x的方程

|x|

x+4

=kx²有4個不相等的實根，則實數k的范圍為

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：計算題,作圖題,不等式的解法及應用

分析：由題意易知x=0是方程

|x|

x+4

=kx²的一個根，化方程

|x|

x+4

=kx²為k=

1

(x+4)|x|

；作函數f（x）=

1

(x+4)|x|

的圖象，由圖象可知關于x的方程

|x|

x+4

=kx²有4個不相等的實根轉化為k大于f（x）在（-4，0）上的最小值，從而利用基本不等式求解．

解答： 解：易知x=0是方程

|x|

x+4

=kx²的一個根，
當x≠0時，
方程

|x|

x+4

=kx²可化為
k=

1

(x+4)|x|

；
作函數f（x）=

1

(x+4)|x|

的圖象如下，

則由圖象可知，
關于x的方程

|x|

x+4

=kx²有4個不相等的實根轉化為
k大于f（x）在（-4，0）上的最小值；
當x∈（-4，0）時，
f（x）=

1

(4+x)(-x)

，
∵（4+x）（-x）≤(

4

2

)2=4；
故

1

(4+x)(-x)

≥

1

4

，
（當且僅當x=-2時，等號成立）
故k＞

1

4

；
故答案為：（

1

4

，+∞）．

點評：本題考查了方程的根與函數圖象的關系，同時考查了數形結合的數學思想及基本不等式的應用，屬于中檔題．