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15.如圖,圓O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))與離心率為32的橢圓T:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于點(diǎn)M(0,1). 
(I)求橢圓T與圓O的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)M引兩條互相垂直的兩直線l1、l2與兩曲線分別交于點(diǎn)A、C與點(diǎn)B、D(均不重合).
①P為橢圓上任一點(diǎn)(異于點(diǎn)M),記點(diǎn)P到兩直線的距離分別為d1、d2,求d12+d22的最大值;
②若3MAMC=4MBMD,求l1與l2的方程.

分析 (Ⅰ)由題意知:離心率為e=ca=32,b=1,a2=b2+c2,求出a=2,b=1,c=3,由此能求出橢圓C的方程,圓O的方程.
(Ⅱ)①設(shè)P(x0,y0),由l1⊥l2,則d12+d22=丨PM丨2,由x024+y02=1,得d12+d22=-3(y0+132+163,由此能求出11spczh12+d6bsacu22的最大值.
②設(shè)l1的方程為y=kx+1,由{y=kx+1x2+y2=1,得(k2+1)x2+2kx=0,求出A(-2kk2+11k21+k2),由{y=kx+1x24+y2=1,得(4k2+1)x2+8kx=0,求出C(-8k4k2+114k21+4k2),把A,C中的k置換成-1k,得B(2kk2+1k21k2+1),D(8kk2+4k24k2+4),由3MAMC=4MBMD,由此能求出l1的方程和l2的方程.

解答 解:(Ⅰ)∵圓O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))與離心率為32的橢圓T:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于點(diǎn)M(0,1).
∴由題意知:離心率為e=ca=32,b=1,a2=b2+c2
解得:a=2,b=1,c=3,
∴橢圓C的方程為x24+y2=1,圓O的方程x2+y2=1.
(Ⅱ)①設(shè)P(x0,y0),由l1⊥l2,則d12+d22=丨PM丨2=x02+(y0-1)2,
x024+y02=1,得d12+d22=44y02+(y0-1)2=-3(y0+132+163,
∵-1≤y0≤1,∴當(dāng)y0=13時(shí),m1ogoby12+qi1kbuw22取得最大值為163,此時(shí)點(diǎn)P(±42313).
②設(shè)l1的方程為y=kx+1,
{y=kx+1x2+y2=1,得(k2+1)x2+2kx=0,∵xA≠0,∴xA=2kk2+1,
代入y=kx+1,得yc=14k21+4k2,∴A(-2kk2+1,1k21+k2),
{y=kx+1x24+y2=1,得(4k2+1)x2+8kx=0,由xC≠0,∴xC=8k4k2+1,
代入y=kx+1,得yC=14k21+4k2,∴C(-8k4k2+114k21+4k2),
把A,C中的k置換成-1k,得B(2kk2+1k21k2+1),D(8kk2+4k24k2+4),
MA=(-2kk2+12k21+k2),MC=(8k4k2+18k24k2+1),
MB=(2kk2+1,2k2+1),MD=(8kk2+4,81+4k2),
3MAMC=4MBMD,
得3[(-2kk218kk2+4+(-2k2+1)(8k4k2+1)]=4[2kk2+18kk2+4+(-2k2+1)(-8k2+4)],
整理,得:3k21+4k2=4k2+4,即3k4-4k2-4=0,解得k=±2,
∴l(xiāng)1的方程為y=2x+1,l2的方程為y=-22x+1,
或l1的方程為y=-2x+1,l2的方程為y=22x+1

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程、圓的方程、直線方程的求法,是中檔題,注意橢圓性質(zhì)、韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積的合理運(yùn)用.

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