分析 (Ⅰ)由題意知:離心率為e=ca=√32,b=1,a2=b2+c2,求出a=2,b=1,c=√3,由此能求出橢圓C的方程,圓O的方程.
(Ⅱ)①設(shè)P(x0,y0),由l1⊥l2,則d12+d22=丨PM丨2,由x024+y02=1,得d12+d22=-3(y0+13)2+163,由此能求出11spczh12+d6bsacu22的最大值.
②設(shè)l1的方程為y=kx+1,由{y=kx+1x2+y2=1,得(k2+1)x2+2kx=0,求出A(-2kk2+1,1−k21+k2),由{y=kx+1x24+y2=1,得(4k2+1)x2+8kx=0,求出C(-8k4k2+1,1−4k21+4k2),把A,C中的k置換成-1k,得B(2kk2+1,k2−1k2+1),D(8kk2+4,k2−4k2+4),由3→MA•→MC=4→MB•→MD,由此能求出l1的方程和l2的方程.
解答 解:(Ⅰ)∵圓O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))與離心率為√32的橢圓T:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于點(diǎn)M(0,1).
∴由題意知:離心率為e=ca=√32,b=1,a2=b2+c2,
解得:a=2,b=1,c=√3,
∴橢圓C的方程為x24+y2=1,圓O的方程x2+y2=1.
(Ⅱ)①設(shè)P(x0,y0),由l1⊥l2,則d12+d22=丨PM丨2=x02+(y0-1)2,
由x024+y02=1,得d12+d22=4−4y02+(y0-1)2=-3(y0+13)2+163,
∵-1≤y0≤1,∴當(dāng)y0=13時(shí),m1ogoby12+qi1kbuw22取得最大值為163,此時(shí)點(diǎn)P(±4√23,13).
②設(shè)l1的方程為y=kx+1,
由{y=kx+1x2+y2=1,得(k2+1)x2+2kx=0,∵xA≠0,∴xA=−2kk2+1,
代入y=kx+1,得yc=1−4k21+4k2,∴A(-2kk2+1,1−k21+k2),
由{y=kx+1x24+y2=1,得(4k2+1)x2+8kx=0,由xC≠0,∴xC=−8k4k2+1,
代入y=kx+1,得yC=1−4k21+4k2,∴C(-8k4k2+1,1−4k21+4k2),
把A,C中的k置換成-1k,得B(2kk2+1,k2−1k2+1),D(8kk2+4,k2−4k2+4),
∴→MA=(-2kk2+1,−2k21+k2),→MC=(−8k4k2+1,−8k24k2+1),
→MB=(2kk2+1,−2k2+1),→MD=(8kk2+4,−81+4k2),
由3→MA•→MC=4→MB•→MD,
得3[(-2kk2−1•8kk2+4+(-2k2+1)(−8k4k2+1)]=4[2kk2+1•8kk2+4+(-2k2+1)(-8k2+4)],
整理,得:3k21+4k2=4k2+4,即3k4-4k2-4=0,解得k=±√2,
∴l(xiāng)1的方程為y=√2x+1,l2的方程為y=-√22x+1,
或l1的方程為y=-√2x+1,l2的方程為y=√22x+1.
點(diǎn)評 本題考查橢圓方程、圓的方程、直線方程的求法,是中檔題,注意橢圓性質(zhì)、韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 3:2:1 | B. | √3:2:1 | C. | √3:√2:1 | D. | 2:√3:1 |
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A. | 12 | B. | 13 | C. | 1950 | D. | 3150 |
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A. | −75 | B. | −77125 | C. | 77125 | D. | 75 |
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A. | 2 | B. | √2 | C. | 2√2 | D. | 4 |
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