已知函數(shù)f'（x）=
2ax2+x-(2a-1)
x2
=
(x+1)[2ax-(2a-1)]
x2
．
（1）若函數(shù)f（x）在（0，+∞），f'（x）≥0處取得極值，求f'（x）≤0，（0，+∞）的值；
（2）若a=0，函數(shù)f'（x）=
x+1
x2
＞0在f（x）上是單調(diào)函數(shù)，求（0，+∞）的取值范圍．
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題：計算題,導數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）求導f′(x)=2a-
b
x2
+
1
x
，由題意可得
f′(1)=0
f′(
1
2
)=0
，從而求出a，b；
（2）由f′（1）=2可得b=2a-1，從而化f′(x)=
2ax2+x-(2a-1)
x2
=
(x+1)[2ax-(2a-1)]
x2
；從而得到f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，從而求得．
解答： 解：（1）f′(x)=2a-
b
x2
+
1
x
，
由
f′(1)=0
f′(
1
2
)=0
，可得  
a=-
1
3
b=
1
3
．
（2）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），因為f′（1）=2，所以b=2a-1．
所以f′(x)=
2ax2+x-(2a-1)
x2
=
(x+1)[2ax-(2a-1)]
x2
；
要使f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，只要f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．
當a=0時，f′(x)=
x+1
x2
＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)；
當a＜0時，令f′（x）=0，x1=-1，x2=1-
1
2a
＞1，f（x）在（0，+∞）上不單調(diào)，
當a＞0時，要使f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，只要1-2a≥0，即0＜a≤
1
2

綜上所述，a的取值范圍是a∈[0，
1
2
]．
點評：本題考查了導數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點A（3，-4），B（6，3），C（5-m，3+m）．
（1）若點A，B，C是一個三角形的三個頂點，求實數(shù)m應(yīng)滿足的條件；
（2）若△ABC是以A為直角頂點的直角三角形，求實數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（ω，2），
b
=（-1，1）．
（1）若|
a
|=
2
|
b
|，求ω的值；
（2）若＜
a
，
b
＞=60°，求向量
a
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)a1，a2，…，an為正整數(shù)，其中至少有五個不同值，若對任意的i，j（1≤i＜j≤n），存在k，l（k≠l，且異于i與j）使得ai+aj=ak+al，則n的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=x3-ax2+3x，g（x）=lnx+b
（Ⅰ）若曲線h（x）=
f(x)
x
+g（x）在x=1處的切線是x+y=0，求實數(shù)a和b的值；
（Ⅱ）若x=3是f（x）的極值點，求f（x）在[0，2]上的最大最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知P是橢圓
x2
100
+
y2
36
=1上一點，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，若∠F1PF2=60°，則△PF1F2的面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

橢圓的一個頂點為（0，2），離心率為e=
1
2
，以坐標軸為對稱軸的橢圓方程是（　�。�
A、
3
16
x2+
y2
4
=1
B、
y2
4
+
x2
3
=1
C、
3
16
x2+
y2
4
=1或
y2
4
+
x2
3
=1
D、
y2
8
+
y2
4
=1或
y2
4
+
x2
3
=1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，且滿足Sn=2an-2．（n∈N*）
（1）求數(shù)列{an}的通項an．
（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=log2an，Tn為數(shù)列{
bn
an
}的前n項和，求證Tn≥
1
2
．

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